Nullstellen ganzrationaler Funktionen; Schnittpunkte

Question

Hallo :)

Ich bin´s mal wieder.

Für a element R und a>0 wird folgende Funktion betrachtet:

fa(x)=1/3(-4x³-6ax²+2a³)

a)Weisen Sie rechnerisch nach, dass sämtliche Graphen bei x=-a einen gemeisamen Punkt mit der x-Achse haben.

b)Berechnen Sie alle weiteren Nullstellen der Funktion fa und geben Sie ihre Vielfachheit an.

c)Stellen Sie den Funktionsterm in vollständig faktorisierter Form dar.

d)Bestimmen Sie a so, dass der Graph von fa durch den Punkt P(-1;4/3) geht.

Ich bräuchte lediglich bei a) den Ansatz. Ich dachte an Polynomdivision, aber sämtliche Funktionen und gemeinsamer Punkt mit der x-Achse irritiert mich.

Andere Aufgabe:

fk(x)=1/5(x^4-kx³-4kx²)

Wann hat diese Aufgabe genau eine doppelte Nullstelle?

Ich habe gedacht an a element R / (0)

Also alle möglichen a-Werte, bis auf 0?

Stimmt das?

Kurze Frage zum Schluss:

Bei einer Aufgabe heißt es:

Die beiden Funktionen haben eine gemeinsame Nullstelle. Geben Sie die Koordinaten des zugehörigen Schnittpunktes an und bestimmen Sie k so, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt.

Also die Nullstelle ist 1/k. Die Funktion: fk(x)=(1/k)x(kx-1)²

Wie gehe ich hier vor? Was ist eine Abszisse?

Das ist jetzt viel Text, aber ich will ja wirklich nur die Ansätze wissen :)!

 

LG

Simon

Answer 1

Hi,

ein Tipp zur a: Setze x = -a ein und schaue was passiert ;).

 

Bitte immer nur eine Aufgabe pro Frage. Das ist sonst verwirrend.

 

Andere Aufgabe:

fk(x)=1/5(x⁴-kx³-4kx²)

Wann hat diese Aufgabe genau eine doppelte Nullstelle?

Deine Vermuting ist richtig (ersetze a durch k^).

 

Die "Abszisse" ist die x-Achse. Hier also der x-Wert gemeint.

1/k ist übrigens keine Nullstelle ;).

 

Grüße

Comments

Du hast geschrieben:

Deine Vermutung ist richtig (ersetze a durch k^)

Ich habe ja gemeint, a darf alle Werte annehmen außer 0. Was meint du da mit ersetze a durchk^?

1/k ist übrigens keine Nullstelle ;).

Bei der Aufgabe war noch gegeben, dass k>o ist, also doch eine Nullstelle ;)

Ja, aber ich verstehe die Aufgabe dann nicht.

Gefragt war:

Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Schnittpunktes und bestimmen Sie k so, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt.

Meine Nullstelle ist ja 1/k. Das setze ich ja dann in die Funktion ein und bestimme y, oder?

Was meinene die dann mit 3^^?

LG

Simon

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Du sprichst von a's die Aufgabe lautet aber: fk(x)=1/5(x⁴-kx³-4kx²)

Da ist kein a dabei ;).

 

1/k ist übrigens keine Nullstelle ;).

Bei der Aufgabe war noch gegeben, dass k>o ist, also doch eine Nullstelle ;)

Auch für k = 0 wäre das keine Nullstelle. k = 0 ist gar nicht definiert!

 

Zum letzten Abschnitt: Du musst k so wählen, dass, wenn Du x = 3 wählst, der ganze Ausdruck 0 ergibt. Ersetze also einfach mal x durch 3 und finde die Nullstellen (für k) ;).

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Du sprichst von a's die Aufgabe lautet aber: fk(x)=1/5(x⁴-kx³-4kx²)

Da ist kein a dabei ;).

Sorry, ich meinte k. Eigentlich ist ja nur der letzte Ausdruck in der Klammer interessant, da da ja x² und somit die doppelte Nullstelle ist, richtig? Folgedessen darf dieser Ausdruck nicht wegfallen, da sonst nur noch x³ und x^4 existiert und somit mindestens eine dreifache Nullstelle, richtig? Der Ausdruch würde nur wegfallen, wenn k=0 wäre. Also kann ich doch schlussfolgern, dass diese Funktion genau dann eine doppelte Nullstelle hat, wenn k∈R/(0)

Stimmt das sowieit?

Zu der anderen Aufgabe:

Die Funktion lautet:

fk(x)=(1/k)x(kx-1)²

So, die Nullstellen habe ich ja unter anderem in dem Term (kx-1)²=(kx-1)(kx-1)

Somit eine doppelte Nullstelle. Wenn ich kx-1=0 setze komme 1/k als Nullstelle heraus und das stimmt auch, da ich diese Aufgabe in der Schule noch mit der Lehrerin verglichen habe.

Was mache ich da jetzt^^?

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Zum ersten Teil. x^3 fällt auch weg und es bleibt nur x^4.

Sonst aber richtig :).

 

fk(x)=(1/k)x(kx-1)²

So, die Nullstellen habe ich ja unter anderem in dem Term (kx-1)²=(kx-1)(kx-1)

Somit eine doppelte Nullstelle. Wenn ich kx-1=0 setze komme 1/k als Nullstelle heraus und das stimmt auch, da ich diese Aufgabe in der Schule noch mit der Lehrerin verglichen habe.

Was mache ich da jetzt^^?

Ah sry, soweit hatte ich gar nicht geschaut, da ich dachte Du meintest weil der Faktor 1/k voran steht, dass deswegen die Nullstellen 1/k sei. So ist das natürlich richtig ;).

 

Was Du jetzt machen solltest, ist meinen Ratschlägen folgen. Für x = 3 einsetzen und dafür sorgen, dass das ganze 0 wird.

fk(3)=(1/k)*3*(k*3-1)² = 0

Tipp: Beachte das ganze Faktorweise. Dann ist die Lösung direkt ersichtlich ;).

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ok, nochmal kurz zu der Aufgabe mit der Abszisse.

Es hieß wie folgt in der Aufgabe:

c)Die beiden Funktionen haben eine gemeinsame Nullstelle. Geben Sie die Koordinaten des zugehörigen Schnittpunktes an und bestimmen Sie k so, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt.

So, es war noch eine Funktion gegeben. Von dieser habe ich die Nullstellen ermitteln und es kam auch 1/k raus, also ist das meine Gemeinsame Nullstelle :)

Der zugehörige Schnittpunkt wäre doch dann: S(1/k;0) oder nicht?

Schließlich haben beide Funktionen diesen Punkt!

Warum soll ich dann k so bestimmen, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt?

Du hast ja oben für x 3 eingesetzt und y=0. In der Aufgabe steht doch was von k bestimmen...

Das musst du mir jetzt noch erklären ;)!

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Ist soweit alles richtig :).

Warum soll ich dann k so bestimmen, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt?

Weil es die Aufgabe verlangt?! Warum die Aufgabe so gestellt ist, da musst Du schon den Autor fragen :P.

 

Du hast ja oben für x 3 eingesetzt und y=0. In der Aufgabe steht doch was von k bestimmen...

Du hast zwei "Unbekannte" x und k. x ist mit 3 vorgegeben. Bleibt nur noch die Unbekannte k. Diese bestimme ;).

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Der Schnittpunkt ist ja: S(1/k;0)

Muss man hier dann nicht anders vorgehen, und zwar so:

1/k=3

k=1/3

Das würde mir einleuchten, denn ich soll k so bestimmen, dass die Nullstelle 3 ist.

1/k ist ja meine x-Koordinate.

Hier nochmal der Text:

c)Die beiden Funktionen haben eine gemeinsame Nullstelle. Geben Sie die Koordinaten des zugehörigen Schnittpunktes an und bestimmen Sie k so, dass die Abszisse des Schnittpunktes bei 3 liegt.

Eigentlich ist das doch richtig, wie ich das jetzt gemacht habe, weil das mit der Abszisse bezieht sich ja noch auf den Schnittpunkt, oder?

Sag bitte, dass das richtig ist^^.

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Ja, auch völlig richtig.

Sogar einfacher als den Weg den ich gehen wollte^^.


Grüße

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Stimmt auch die Lösung für k?

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Wie meinen? k = 1/3 ?

Ja, das habe ich auch so ;).

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ok, wie lautet denn nun die endgültige Lösung?

Der Schnittpunkt ist ja S(1/k;0)

k=1/3

Heißt der Schnittpunkt nun S(1/(1/3);0)?

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Ich würde den Schnittpunkt S(3|0) nennen, aber ja das ist richtig. War allerdings auch schon bekannt.

Besonders schön aufgeschrieben wäre das vielleicht so:

S_1/3(3|0)

Damit deutet man an, dass k = 1/3 ist :).

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Dann notiere ich das mal so^^.

Vielen Dank wiedermal!