Bestimmen Sie zu dem Graphen die dazugehörende Polynomfunktion.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie zu dem Graphen die dazugehörende Polynomfunktion. Verwenden Sie nur Bedingungen mit ganzzahligen x-Werten.

Problem/Ansatz:

Was kann man von dem Graphen rauslesen, damit man eine Funktionsgelichung aufstellen kann?

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Wenn du den ganzen Graphen um eine Längenheit nach oben verschiebst, berührt er die \(x\)-Achse bei \((x=-2)\) und bei \((x=2)\).

Die beiden Linearfaktoren \((x-2)\) und \((x+2)\) müssen also mit einem geraden Exponenten auftreten, weil sonst das Vorzeichen an den genannten Stellen wechseln würde:$$f(x)=a\cdot(x-2)^2\cdot(x+2)^2-1$$Die \((-1)\) am Ende dürfen wir nicht vergessen, weil wir den Graphen nur in Gedanken um eine Längenheit nach oben verschoben haben.

Den unbekannten Parameter \(a\) erhalten wir durch Einsetzen des Punktes \((0|3)\):$$3=f(0)=a\cdot(0-2)^2\cdot(0+2)^2-1=16a-1\implies16a=4\implies a=\frac14$$Damit lautet der Funktionsterm:$$f(x)=\frac14\cdot(x-2)^2\cdot(x+2)^2-1$$

Comments

Vielen Dank :) Gibt es auch die Möglichkeit dies mit dem linearen Gleichungsystem auszurechnen oder ist das sehr kompliziert?

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Das geht auch. Da der Graph achsensymmetrisch ist, kannst du folgenden Ansatz wählen:$$f(x)=ax^4+bx^2+c$$Die 4-te Potenz brauchst du, damit die Funktion 4 Nullstellen hat.

Dann kannst du die beiden Punkte \((0|3)\) und \((2|-1)\) einsetzen.

Und die Ableitung bei \(x=0\) ist \(0\).

Daraus bekommst du 3 Gleichungen für 3 Unbekannte...

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Und die Ableitung bei \(x=0\) ist \(0\).

Diese Information steckt bereits in der Symmetrie und liefert keine neue Bedingung.

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Oha stimmt... Mein Fehler. Danke für den Hinweis, Arsinoe4 ;)

Dann würde ich \(f'(2)=0\) empfehlen.

Answer 2

f(x) = ax^4+bx^2+ c (Symmetrie zur y-Achse -> nur gerade Exponenten)

f(0) = 3

f(2) = f(-2) = -1

Comments

Ob das wohl ausreicht?

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Ist es nicht f(0)= 3 ,weil es durch den Punkt (0,3) läuft?...

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Bitte etwas sorgfältiger antworten.

Answer 3

Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach oben:

\(f(x)=a*(x+2)^2*(x-2)^2\)

\(P(0|4)\)

\(f(0)=a*(0+2)^2*(0-2)^2=16a=4\)    →  \(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}*(x+2)^2*(x-2)^2\)

Nun 1 Einheit nach unten:

\(p(x)=\frac{1}{4}*(x+2)^2*(x-2)^2-1\)