Zahlenfolgen: Konvergenz und Grenzwert an:=(n!/(3!·(n - 3)!))^{1/n}

Question

a_n= $$\sqrt [ n ]{ \frac { n! }{ 3!(n-3)! }  }$$
Ich soll überprüfen ob die folgende Zahlenfolge konvergiert und den jeweiligen Grenzwert bestimmen, jedoch verwirrt mich die Fakultät einwenig. Ich würde mich über jede Hilfe freuen. Vielen Dank schonmal im voraus.

Answer 1

Ist wirklich die k-te Wurzel aus dem Ausdruck gemeint oder doch eher die n-te Wurzel?
Ich gehe mal von der n-ten Wurzel aus.

Den Radikanden der Wurzel kann man wie folgt umformen:$$\frac { n! }{ 3!(n-3)! }=\frac { (n-3)!(n-2)(n-1)n }{ 3!(n-3)! } $$$$=\frac { (n-2)(n-1)n }{ 3! } =\frac { (n-2)(n-1)n }{ 6 }$$also:$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ \frac { n! }{ 3!(n-3)! }  }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ \frac { (n-2)(n-1)n }{ 6 }  }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ 6 }  }  } } \sqrt [ n ]{ (n-2)(n-1)n }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ (n-2)(n-1)n }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ (n-2) }  } \sqrt [ n ]{ (n-1) } \sqrt [ n ]{ n }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ (n-2) }  } \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ (n-1) }  } \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ n }  }$$$$=1*1*1$$$$=1$$

Answer 2

Schreibe die Fakultät einfach vereinfacht nur als Multiplikation:

n!/(3!·(n - 3)!) = n·(n - 1)·(n - 2)/6 = (n^3 - 3·n^2 + 2·n)/6

Jetzt solltest du klar kommen oder?