Das fängt ja immer an mit: Sei epsilon > 0.
Dann musst du ein no angeben, von dem an für alle
Werte n>no der Abstand zwischen Folgenglied an und Grenzwert
kleiner als epsilon ist.
an - grenzwert ist der Betrag von (3n^2+1)/(4n^2-n) - 3/4.
Ausgerechnet ist das (4+3n)/(16n^2-4n). Betrag kannst du weglassen, da für n>=1 eh
alles positiv ist.
Nun brauchst du ein n0 von dem ab dieser Bruch garantiert kleiner als epsilon ist.
Dazu kannst du den Bruch abschätzen, du nimmst einfach etwas größere Brüche,
und wenn die kleiner als epsilon sind, dann ist es der ursprüngliche Bruch auch.
Zum Beispiel ist der Zähler sicherlich kleiner als 8n, also kannst du sagen:
(4+3n)/(16n^2-4n) < (8n)/(16n^2-4n) und nach dem Kürzen durch 4n ist
das 2/(2n-1). Jetzt musst du nur noch n0 so bestimmen, dass für n>n0
auf jeden Fall 2/(2n-1) < epsilon gilt.
also 2 < eps*(2n-1)
also 2/eps < 2n-1
also 2/eps +1 < 2n
also 1/eps +0,5 < n
D.h. Wenn n größer als 1/eps + o,5 ist, dann ist der Abstand des
n-ten Folgengliedes zum Grenzwert kleiner als eps.
Also nimmst du für n0 einfach die erste natürliche Zahl, die größer oder
gleich 1/eps + o,5 ist.
