Wie funktioniert Ableiten?

Question

Hallo :)

Ich möchte gerne wissen, wie man ableitet.

Ich habe mal gehört, dass man damit Wendepunkte bestimmen kann, aber mehr weis ich dazu nicht.

f´ oder f´´ sehe ich auch ziemlich oft.

Hier mal eine beispielfunktion:

f(x)=x³+x²+5

Die Funktion ist imaginär^^.

Möchte einfach wissen, wie man da vorgeht, damit man von f auf f´oder f´´ kommt.

 

LG

Simon

Answer 1

Hallo Simon,

 

bei Funktionen dieser Art (ohne Logarithmus, Sinus oder dergleichen) verfährt man zum Ableiten einfach so:

Man multipliziert den Koeffizienten von x mit dem entsprechenden Exponenten und subtrahiert danach von diesem Exponententen 1.

In Deinem Beispiel:

 

f(x) = x³ + x² + 5

f'(x) = 3 * x^3-1 + 2 * x^2-1 + 0 | denn hinter der 5 steht sozusagen ein x⁰ = 1 und 0 * 5 = 0

f'(x) = 3 * x² + 2 * x¹ = 3x² + 2x

f''(x) = 2 * 3 * x^2-1 + 1 * 2 * x^1-1 = 6 * x¹ + 2 * x⁰ = 6x + 2

f'''(x) = 1 * 6 * x^1-1 + 0 | denn hinter der 2 steht sozusagen ein x⁰ = 1 und 0 * 2 = 0

f'''(x) = 6

f''''(x) = 0 | denn hinter der 6 steht sozusagen ein x⁰ und 0 * 6 = 0

 

Ich hoffe, das war halbwegs nachzuvollziehen :-)

 

Besten Gruß

Comments

Weißt du, wie man diese Regeln eigentlich herleiten kann?

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@jb64: Solche Herleitungen kannst du z.B. unter dem Stichwort (Tag) h-Methode finden. https://www.mathelounge.de/suche?q=h-methode

Answer 2

Du musst zwei regeln wissen.

Summenregel: Dei Ableitung einer Summe ist die Summer der Ableitungen der einzelnen Summanden.

Potenzregel: Eine Potenz a*x^n wir abgeleitut zu a*n*x^{n - 1}

Damit mache ich die Ableitung:

f(x) = x^3 + x^2 + 5 = x^3 + x^2 + 5·x^0

f'(x) = 3·x^2 + 2·x

f''(x) = 6·x + 2

f'''(x) = 6

f''''(x) = 0

Comments

Danke erstmal!

Potenzregel: Eine Potenz a*xⁿ wir abgeleitut zu a*n*x^{n - 1}

Könntest du hierfür ein einfaches Zahlenbeispiel nennen?

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3*x^2 wird abgeleitet zu 3*2*x^{2 - 1} = 6*x^1 = 6*x

Siehe auch oben.

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Ist gut nachvollziehbar :)

Aber was genau habe ich da jetzt gerechnet bei f´f´´ f´´´?

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Du wendest die Ableitungsregeln einfach erneut immer wieder an.

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ok, mir fällt lediglich auf, dass sich der Grad immer um 1 reduziert.

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"Aber was genau habe ich da jetzt gerechnet bei f´f´´ f´´´?"

f'(x) ist die Ableitung der Funktion f(x) und gibt deren Steigung an - allgemein, also für jede Stelle, das ist das Feine daran :-)

f''(x) ist die Ableitung von f'(x) und gibt deren Steigung an - auch wieder allgemein.

f'''(x) ist die Ableitung von f''(x) und ... Du ahnst es schon :-D

usw.

Answer 3

Hi,

bei einem Polynom leitet man nach der Regel f(x) = ax^n ab, in dem man f'(x) = n*ax^{n-1} schreibt.

Also man den Exponenten als Faktor voran schreibt und den Exponenten minimiert.

Bei trigonometrischen Funktion ist das aber schon anders...das lernt ihr aber sicher noch.


Man kann übrigens jeden Summanden einzeln ableiten und so ergibt sich:

f(x) = x^3+x^2+5

f'(x) = 3x^2+2x

f''(x) = 6x+2


Beachte, dass Konstanten (also Zahlen) sich wegheben :).


Grüße

Comments

Wie wäre es dann bei trigonometrischen  Funktionen?

Schwerer?

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Nein,

nur braucht es da "Wissen". Das wirst Du dann lernen, wenn ihr soweit seid. Da kommen dann noch ganz andere Regeln hinzu. Obige ist die einfachste und wohl gewöhnlichste :).