Beweis g-adische Zahlendarstellung

Question

Aufgabe:

Sei Qg die Funktion, die einer Zahl ihre Quersumme in der g-adischen Darstellung zuordnet. (z.B. z B 5₁₀ = 101₂   also Q2(z) = 2)
Analog sei Q′g die alternierende Quersumme auf der g-adischen Zahlendarstellung. Zeigen Sie, dass

gilt:
(a) b − 1 teilt die Zahl n genau dann, wenn Qb(n) durch b − 1 teilbar ist.
(b) b + 1 teilt die Zahl n genau dann, wenn Qb(n) durch b + 1 teilbar ist.

(Hinweis: In der Dezimaldarstellung entspricht den Teilbarkeitsregeln für 9 und 11.)

Answer 1

Zu (a):

Es ist \(b=(b-1)+1\), also \(b\equiv 1\) mod \(b-1\).
Das liefert \(n=\sum a_kb^k\equiv \sum a_k1^k=\sum a_k=Q_{b}(n)\) mod \(b-1\), ...

Zu (b):

Entsprechend ist \(b=(b+1)-1\),
also \(b\equiv -1\) mod \(b+1\) und
damit \(b^k\equiv (-1)^k\) mod \(b+1\).