Zeigen sie, S ist keine Basis von V.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Betrachten Sie die Menge \( S:=\left\{e_{m}: m \in M\right\} \) der Abbildungen \( e_{m}: M \rightarrow K \) mit
\( e_{m}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1_{K} & \text { für } x=m, \\ 0_{K} & \text { für } x \neq m . \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( S \) linear unabhängig ist.
Sei \( M \) endlich. Zeigen Sie, dass \( S \) eine Basis von \( V \) ist.
Sei \( M \) unendlich und sei \( f: M \rightarrow K \) die Abbildung, die konstant den Wert \( 1_{K} \) annimmt. Zeigen Sie, dass \( f \notin L(S) \). Folgern Sie, dass \( S \) keine Basis von \( V \) ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem liegt bei der letzten Aufgabe. Ich habe meiner Meinung nach bewiesen, dass für #M=endlich, S eine Basis ist. Hierbei muss ja nur gezeigt werden, dass ein beliebiges f aus V durch eine Linearkombination von S dargestellt werden kann. Wie kann ich jetzt aber beweisen, dass wenn M unendlich ist, S keine Basis mehr ist?

Ich wäre dankbar für alle Tipps/Anregungen.

Ps: V ist definiert als Abb(M,k)

Answer 1

Zeige, dass \(f\notin L(S)\) ist.

Folgern Sie, dass \(S\) keine Basis von \(V\) ist.

\(S\) ist keine Basis von \(V\), weil \(f\in V\) ist und \(f\) nicht durch eine Linearkombination von \(S\) dargestellt werden kann.

Comments

Aber wie kann ich zeigen, dass f nicht durch eine Linearkombination aus S dargestellt werden kann?

---

Eine Linearkombination besteht aus endlich vielen Summanden.