f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \frac{sin(nx)}{n^3} ableiten

Question

Aufgabe:

f(x) = \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) \( \frac{sin(nx)}{n^3} \)

Problem/Ansatz:

Es soll die Ableitung bestimmt werden. Wenn ich das Summenzeichen ignorieren würde wäre das ja f'(x)= \( \frac{cos(nx)}{n^2} \). Wie leite ich das jetzt aber mit dem Summenzeichen ab?

Answer 1

Am besten ist es wenn man sich paar Glieder der Summe aufschreibt:

\( f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin(nx)}{n^{3}} = \frac{sin(x)}{1} + \frac{sin(2x)}{8} + \frac{sin(3x)}{27} + \frac{sin(4x)}{64} + \frac{sin(5x)}{125} + \dots\). Und jetzt ist das tolle das man eine Summe ableiten kann indem man jeden einzelnen Summanden für sich ableitet. Machen wir das mal:

\( f'(x)=  (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin(nx)}{n^{3}})' = \frac{cos(x)}{1} + \frac{cos(2x)}{4} + \frac{cos(3x)}{9} + \frac{cos(4x)}{16} + \frac{cos(5x)}{25} + \dots\). Erkennst du nun das Muster? Im Nenner haben wir die Quadratzahlen also sprich \(1^{2}=1, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9, 4^{2} = 16, 5^{2} = 25, \dots\). Das können wir allgemein schreiben, als \(n^{2} \). Im Zähler haben wir \( cos(1x), cos(2x), cos(3x),cos(4x), cos(5x), \dots \). Das wiederum können wir allgemein schreiben als \(cos(nx) \). Somit lautet die Ableitung dieser Summe:

\( f'(x)=  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(nx)}{n^{2}}\)

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung

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Summe ableiten kann indem man jeden einzelnen Summanden für sich ableitet

Das ist unbestritten. Wahrscheinlich besteht die Aufgabe aber gerade darin zu zeigen, dass das auch für die vorgelegte Reihe zutrifft.
Der Nachweis, dass \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(nx)}{n^{2}}\) gleichmäßig konvergiert könnte da hilfreich sein.