Induktionsbeweis einer rekursiven Folge

Question

Aufgabe:

Hallo ich bin gerade dabei mittel Induktion eine explizite Folge aus einer rekursiven Folge heraus zu beweisen. Dabei bin ich auch folgendes Video gestoßen: https://www.youtube.com/watch?v=Usq8lSWu_mY

Problem/Ansatz:

Sie stellt die Induktionsvoraussetzung auf: $$\exists n\in \mathbb{N} :\  a_{n}=n^{2}+4n$$

Diese ist in meinen Augen auch vollkommen richtig, auch sagt sie, dass man dies jetzt überall anstelle eines a_n verwendet dürfe. Bei Minute 3:44 trifft sie dann völlig konträr dazu die Aussage, dass man die IV nicht nutzen dürfte? Da ich die IV so aufgestellt habe, darf ich das doch nutzen??? Das verwirrt mich gerade absolut. Später verwendet Sie diese ja sogar, aber warum sagt sie zwischenzeitlich man dürfe es nicht?

Über eure Meinungen/Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

\(\exists n\in \mathbb{N} :\ a_{n}=n^{2}+4n\)

Das braucht man nicht voraussetzen. Dass diese Aussage gültig ist, wurde bereits durch den Induktionsanfang gezeigt.

Die Induktionsvoraussetzung ist vielmehr, dass \(n\) eine natürliche Zahl ist, für die \(a_{n}=n^{2}+4n\) gilt.

Jetzt darfst du in deiner Rechnung \(a_{n}\) durch \(n^{2}+4n\) ersetzen. Dass heißt aber nicht, dass du irgendein anderes \(a_{m}\) durch \(m^{2}+4m\) ersetzen darf.

Das Problem entsteht dadurch, dass oft geglaubt wird, durch zum Beispiel

        \(\exists n\in \mathbb{N} :\ 4 < n < 6\)

würde die Variable \(n\) einen Wert bekommen. Das tut sie nicht. Insbesondere kann man dadurch nicht schlussfolgern, dass \(n = 5\) ist. Die Variable \(n\) bekommt den Wert durch

        Sei \(n = 5\)

oder

        Sei \(n = \sqrt{25}\)

oder eben durch

        Sei \(n\in \mathbb{N}\) mit \(4 < n < 6\).

Die korrekte Induktionsvoraussetzung ist deshalb

        Sei \(n\in \mathbb{N}\) mit \(a_{n}=n^{2}+4n\).

Natürlich muss man zeigen, dass ein solches \(n\) überhaupt existiert, aber das hat man ja bereits beim Induktionsanfang gemacht.

Answer 2

Hallo was Sie da meint, ist, dass du nicht einfach für \(a_{n+1} = (n+1)^{2} +4\cdot(n+1)\) schreiben kannst, sondern du zuerst die rekursive Darstellung verwendest und dort für \(n = n+1 \) einsetzt und dann hast du eben \(a_{n+1} = a_{n} + 2n + 2 + 3\) und da darfst du dann die IV. anwenden. Weil wir wissen ja anfangs gar nicht ob \(a_{n} = n^{2}+4n\) ist, das wollen wir ja gerade mit der Induktion zeigen.