Für welche Ziffern gilt gilt die Gleichung?

Question

a, b, c und d seien verschiedene Ziffer ≠0. n Ziffern hintereinandergeschrieben sind eine n-stellige Zahl. Für welche Ziffern gilt \( \sqrt{abcdac} \)=a·\( \sqrt{bcdac} \) - \( \sqrt{dac} \) ?

Comments

Hallo Roland

Stellst du dir vor, dass man das ohne Einsatz eines (möglichst programmierbaren) Rechners lösen kann bzw. wenigstens versuchen soll ?

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Die Wahl der Werkzeuge ist frei.

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EDIT: Sorry, Aufgabe falsch verstanden.

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Ist das zum Knobeln oder kann man systematisch rangehen?

Wo hast du die Aufgabe her?

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Zunächst einmal freue ich mich, dass meine Aufgabe so reges Interesse findet. Manche Ansätze sind ja schon recht sinnvoll. ggT22 möchte wissen, wo ich die Aufgabe her habe. Alle meine Aufgaben werden von bereits veröffentlichten Aufgaben angeregt und dann so weit variiert, dass eine neue Aufgabe entsteht. Die Quellen dieser Aufgabe sind ; Hemmes mathematische Rätsel' unter Spektrum.de und 'Curiosa' aus dem mathematischen Magazin der Yeshiva-Universität 'Scripta mathematica' (erscheint nicht mehr).

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(Antwort gelöscht, da falsch interpretiert.)

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Wenn Du schon TeX benutzt, dann für die ganze Formel und nicht für jedes Zeichen einzeln, dann könnte man auch besser lesen, was dasteht.

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Die Wahl der Werkzeuge ist frei.

Ein CAS macht das ohne Denkaufwand in einer Sekunde.

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So viel Ahnung, wie du, habe ich von CAS-Befehlen offensichtlich nicht.

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(Antwort gelöscht, da falsch interpretiert.)

Meinst du die hier?

Es gilt \( Lmin = \sqrt{100000} = 316.2 \) \( Lmax = \sqrt{999999} = 999.99 \) \( Rmin = 1*\sqrt{10000}*\sqrt{100} = 1000 \) \( Rmax =9*\sqrt{99999}*\sqrt{999} = 89954 \) Es gibt keine Lösung.

Answer 1

Hallo Roland,

durch 'intelligentes Probieren' kommt man recht schnell auf $$\sqrt{abcdac} = a\cdot \sqrt{bcdac} - \sqrt{dac}\\\sqrt{275625} = 2\cdot \sqrt{75625} - \sqrt{625}$$\(a\) kann gar nicht viel größer als \(2\) sein und \(b\) muss relativ groß sein und der Rest ergibt sich dann.

Gruß Werner

Comments

Ja, vor dem Einschalten des digitalen Werkzeugs sollte man - wie du es getan hast - sein Gehirn einschalten. Dein Hinweis 'der Rest ergibt sich dann' ist nicht ohne weiteres nachvollziehbar.

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... 'der Rest ergibt sich dann' ist nicht ohne weiteres nachvollziehbar.

Ich hatte zugegebenermaßen Glück beim Probieren. \(a\) hätte doch größer sein können. Aber nehmen wir mal an, man würde \(a=2\) wählen, dann betrachte ich folgende Funktionsschar \(f_a\) für \(a=2\)$$f_a(u,v) = \frac{\sqrt{100000a + 1000u + v}}{a\sqrt{1000u +v} - \sqrt{v}}-1\quad u := bc, \quad v =dac$$Idealerweise hat man mit der Nullstelle \(f_a(u,v)=0\) eine Lösung gefunden. Die Intervalle von \(u\) und \(v\) sind bei$$12 \le u \le 98, \quad 123 \le v \le 987$$wenn man es mal ganz grob eingrenzt.

Der Funktionswert ändert sich mit \(v\) nicht besonders stark. Setzt man \(v=123\) so muss \(u \ge 71\) sein und bei \(v=987\) liegt \(f\) nur für \(u \le 77\) im Bereich um \(0\). Damit bleiben für \(u\) nur die 5 Möglichkeiten \(u\in\{71,\,73\dots 76\}\). \(72\) und \(77\) entfallen wg. 'verschieden Ziffern'.
Und für diese 5 suche man die Nullstellen von \(f_a(u,v)\) in Abhängigkeit von \(v\). Was mit Excel und einfach Probieren ziemlich fix ging, da in diesem Bereich$$\frac{\partial f_a}{\partial v} \gt 0$$gilt. Bevor ich mir die Mühe mit Ableitung und Newton gemacht hatte, hatte ich das Ergebnis schon.

Answer 2

Noch bevor ich Werners Lösung angesehen habe, hatte ich die Idee, dass die Zahlen unter der Wurzel mit 625 enden könnte, da viele Quadratzahlen mit 25 enden.

Also fragte ich Wolframalpha nach Quadratzahlen, die mit 625 enden.

\( \begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l|} 625 & 5625 & 15625 & 30625 & 50625 & 75625 & 105625 & 140625 \\ 180625 & 225625 & 275625 & 330625 & 390625 & 455625 & 525625 \\ 600625 & 680625 & 765625 & 855625 & 950625 & \ldots & \end{array} \)
(assuming only positive integers)

Bei den sechsstelligen Zahlen abcdac müsste dann 2b5625 zu finden sein. Da a=2 und b≠a ist, muss 275625 die gesuchte Zahl sein.

Nun noch überprüfen.

\(\sqrt{275625}=525\)

\(2\cdot\sqrt{75625}-\sqrt{625}=2\cdot275-25=525\)

Comments

Ja, Monty, damit ist das erklärt, was Werner mit 'der Rest ergibt sich dann' beschrieben hat. Aber deine Idee, dass die Zahlen unter der Wurzel mit 625 enden könnten, ist etwas gewagt.

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Aber deine Idee ... ist etwas gewagt.

Manchmal führen halt gewagte Ideen zum Ziel.

:-)