Angenommen a > 0, für welche x aus R gilt folgendes:

Question

Nochmal die gesamte Frage:

Angenommen a > 0. Für welche x ∈ℝ gilt √(x+a) > x ? 

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich da ansetzen muss. Geht das mit Induktion? Wie muss ich da denken, dass ich auf die Lösung komme? Könntet ihr mir helfen? Bitte auch die Zwischenschritte mit aufschreiben...

Answer 1

√(x+a) > x      

Erst mal kannst du doch überlegen, dass die Wurzel nie negativ

ist. Also gilt für negatives x die Ungleichung immer, da das

Ergebnis von der Wurzel immer größer als das negative x ist.

Allerdings kann man ja die Wurzel nur ziehen, wenn x+a nicht negativ

ist, also x größer oder gleich -a, weil ja a > 0.

Damit hast du: Für den Fall negativer x-Werte gilt die Ungleichung

für alle x aus  [-a  ; 0[ 

Für nicht negative x-Werte (2. Fall ) kannst du die Ungleichung quadrieren:

x+a > x^2      also    0 > x^2 - x + a

                                0 > x^2 - x + a

                              0  >   x^2 - x + 1/4   -1/4  +  a

                              0 > (x-0,5)^2 +a - 0,25 

                            0,25 - a > (x-0,5)^2 

Wenn a > o,25 ist, steht da ein Quadrat, das kleiner als Null sein soll, geht nicht.

Für a<= 0,25 hast du 

           -wurzel(0,25-a) < x-0,5 < wurzel(0,25-a)

     0,5 -wurzel(0,25-a) < x < 0,5+wurzel(0,25-a)   

Also insgesamt x aus [-a ; 0 [   für jedes a>0

oder  für a > o,25 auch noch      

                  x aus ]   0,5 -wurzel(0,25-a) ; 0,5+wurzel(0,25-a)     [

          

Comments

Fehlerhinweis
statt
x+a > x²      also    0 > x² - x + a
muß es heißen
x+a > x²      also    0 > x² - x - a

mfg Georg

Answer 2

 

Im Bereich zwischen  der blauen und der roten Kurve befinden sich
die zulässigen Werte für x in Abhängigkeit von a.

Die ganze Aufgabe war für mich nicht trivial.
Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

könntest du bitte die schritte genauer erklären, ab da wo du (1/2)² auf beiden seiten einsetzt.

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x^2 - x < a  | qudratische Ergänzung
x^2 - x + (1/2)^2 < a + 1/4  | die linke Seite ist nun eine binomische Formel
( x - 1/2 )^2 < a + 1/4

Allgemeines Beispiel wie es weiter geht
a^2 < 16
das heißt
a < 4
aber a darf auch nicht kleiner -4 werden
sonst würde a^2 > 16 werden
aus a^2 < 16 folgt
-4 < a < 4
( a liegt zwischen -4 und 4 )

- √ ( a + 1 /4 ) < x - 1/2  < + √ ( a + 1/4 )  | jetzt für alle Werte + 1/ 2
- √ ( a + 1 /4 ) + 1/ 2  <  x   < + √ ( a + 1/4 )  + 1/2

Für den linken Ausdruck gilt :
Der Ausdruck - √ ( a + 1 /4 ) + 1/ 2 ist bei positivem a
( In der Aufgabenstellung ) stets negativ.
Nach der Annahme von Fall 1 ist x > 0.
Deshalb verkürzt sich
- √ ( a + 1 /4 ) + 1/ 2  <  x   < + √ ( a + 1/4 )  + 1/2
zu
0 <  x   < + √ ( a + 1/4 )  + 1/2

Der Fall 1 in Worten :
Für ein variables a liegt x im Bereich
zwischen 0 und √ ( a + 1/4 )  + 1/2
In der Grafik ist dies der Bereich zwischen
der blauen Kurve und der a-Achse.
( Hinweis : Die Ordinate trägt die Bezeichnung
y. Liegt am Matheprogramm. Müßte aber
eigentlich mit x beschriftet sein. f ( a ) = x ).

Soviel zunächst.

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Traumhaft. Das hast du so geil verständlich erklärt, vielen vielen vielen Dank  !