Konvergiert fn gleichmäßig gegen f bezüglich der Norm?

Question

Aufgabe:

Konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen \( f \) bezüglich der Norm \( \|\cdot\|_{1} \), d.h. gilt
\( \sup _{x \in[0,1]}\left\|f_{n}-f\right\|_{1} \rightarrow 0 \)
bei \( n \rightarrow \infty \) ?

Konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen \( f \) bezüglich der Norm \( \|\cdot\|_{2} \) ?

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man diese Aufgebe - habe keinen Plan?

Comments

Gibt es Informationen zu f und f_n?

---

Leider nein - das ist die exakte Angabe!

---

Dann verstehe ich sie nicht - um es mal diplomatisch zu formulieren.

---

Hallo

du sollst die Behauptung beweisen dass wenn fn in der einen Norm konvergiert, dann auch in der anderen.

Also schreib erst mal die Def der Konvergenz in den 2 Normen hin, dann zeige dass die eine Norm kleiner einem vielfachen der anderen ist und umgekehrt, und du hast den Beweis.

lul

---

Woher nimmst Du diese Interpretation? Die "exakte Formulierung" gibt das doch nicht her? Und sollten die Funktionen nicht irgendwie deklariert sein?

---

Hallo

ich habe ein "so" oder "so folgt" zwischen die 2 Sätze  gedacht, da man meine Interpretation auch ohne so schreiben kann,

lul

---

@lul. Vielen Dank für deinen Beweisidee. Ich probiere es mal aus und werde es als alternative nehmen.

Ich denke aber, dass die Angebe darauf abzielt (bzw. abzielen möchte), zuerst für \( \|\cdot\|_{1} \) und dann für \( \|\cdot\|_{2} \) getrennt zu zeigen (aufgrund der zwei ? - Zwei Fragen).

---

Wie willst du die gleichmäßige Konvergenz einer unbekannten Folge nachweisen? Das ist unsinnig.

Soll man zeigen, dass gleichmäßige Konvergenz bzgl || ||1 die gleichmäßige Konvergenz bzgl || ||2 impliziert?

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabe eher so lautet,

wie MatHaeMatician es gesagt hat:

Gleichmäßige Konvergenz bzgl. \(\|.\|_1\) \(\Rightarrow\)

gleichmäßige Konvergenz bzgl. \(\|.\|_2\).

In \(\mathbb{R}^n\) sind alle Normen äquivalent.

Ist also \(\|.\|\) eine Norm, so gibt es eine Konstante \(C>0\), so dass

\(\|y\|\leq C\cdot \|y\|_1\) ist für alle \(y\in \mathbb{R}^n\).

Daher gilt

\(\sup_{x\in [0,1]}\|f_n(x)-f(x)\|\leq C\cdot \sup_{x\in [0,1]}\|f_n(x)-f(x)\|_1\to 0\)

für \(n\to \infty\).

Comments

Vielen Dank, dass du dir noch die Mühe gemacht hast ☺