Bestimme den Funktionsterm von g.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar $$f_t(x)=x*e^{-tx}$$

1. Untersuche die Funktionenschar f_t.

2.Zeige das alle Extrempunkte der Schar auf dem Graphen einer Funktion g liegen.

3. Bestimme den Funktionsterm von g.

Problem/Ansatz: zu 1. Da würde ich Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte berechnen. Aber wie mache ich das?

Muss ich für die Nullstellen f_t=0

$$f_t= x*e^{-tx}=0$$ also x=0

Dann erste Ableitung mit Produktregel für Extremwerte

Wie mache ich die 2 u 3?

Answer 1

\(f_t(x)=x \cdot e^{-tx}\)

Für die Extrempunkte die Ableitung gleich 0 setzen

\(f_t'(x)=(1-tx) \cdot e^{-tx}\) gibt für t≠0  

         \(  x=\frac{1}{t}   \)

Und \(f_t''(\frac{1}{t} )  \ne 0 \) also dort überall Extrempunkte

E(    \( \frac{1}{t}  ; e^{-1} \) )  Diese liegen alle auf der

Geraden zu y= \( e^{-1} \) und das ist ein Funktionsgraph.

mit dem Funktionsterm g(x) =  \( e^{-1} \).

Comments

... und so sieht das aus:

https://www.desmos.com/calculator/maffyaspbq

Den Punkt \(x_e=\dots\) kann man horizontal verschieben.

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Super, vielen lieben Dank euch

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Vielen lieben Dank