Umkehrfunktion-Aufgabe nicht verstanden

Question

Aufgabe:

Geben Sie zu folgenden Funktionen die jeweilige Umkehrfunktion an. Schränken Sie hierzu den maximal möglichen Definitionsbereich von \( f \) bei Bedarf ein. Skizzieren Sie die Graphen von \( f \) und \( f^{-1} \).

(a) \( f(x)=\sqrt[4]{x} \)

(b) \( f(x)=x^{4} \)

(c) \( f(x)=10^{2 x} \)

(d) \( f(x)=1+\frac{1}{x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich versteh die Aufgabe 1 d nicht. Könnte mir jemand auch die Aufgaben a, b, c überprüfen? (Sieht Anhang)

Text erkannt:

(1) Umkehrfunktion bilden 1 moch \( x \) aufirsen \( 2 \times u, y \) vertawechen
b) \( f(x)=x^{4} \)
d) \( f(x)=1+\frac{1}{x^{2}} \)
\( \begin{aligned} y & =x^{4} \mid \sqrt[y]{ } \\ \sqrt[y]{y} & =x \\ f^{-1}(x) & =\sqrt[4]{y} \end{aligned} \)
\( y=1+\frac{1}{x^{2}} \mid-1 \)
\( y-1=\frac{1}{x^{2}} 1 \cdot x^{2} \)
\( -12 \)

Comments

moch \( x \) aufirsen \( 2 \times u, y \) vertawechen

Was Du wollen damit sagen?

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Chat GPT hat es wie folgt interpretiert:

Nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

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Ich weigere mich ja, den Tschätt Tschi Pee Tea zu fragen, wenn sich eine Fragestellerin kryptisch ausdrückt.

Answer 1

\( x=1+\frac{1}{y^{2}} \)

\( x-1=\frac{1}{y^{2}} \)

\( y^2=\frac{1}{x-1} \)

\( y=\frac{1}{\sqrt{x-1}} \)

Answer 2

d)

$$y = 1 + \frac{1}{x^2} \newline y - 1 = \frac{1}{x^2} \newline \frac{1}{x^2} = y - 1 \newline x^2 = \frac{1}{y - 1} \newline x = \pm \sqrt{\frac{1}{y - 1}}$$

Da es jetzt beim Wurzelziehen zwei Lösungen gibt muss also der Definitionsbereich eingeschränkt werden.