rekursiv Folge, konvergenz, Grenzwert

Question

Hallo

Kann jemand diese Aufgabe lösen.

Text erkannt:

Betrachten sie die Fulge \( \left(x_{n}\right) n \in N \), die rekursiv durch
\( x_{n}=23 \text { und } x_{n+1}=\frac{4}{5} x_{n} \quad n \in N \)
definiert ist. untersuchen diese Folge auf konvergenz oder Divergenz. Geben sie im Fall der konvergenz den Grenzwert der Folge an.

Answer 1

Aloha :)

Die rekursiv definierte Folge:$$x_{n+1}=\frac45\cdot x_n\quad;\quad x_1=23$$konvergiert, denn sie erfüllt das Quotientenkriterium:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac 45\cdot x_n}{x_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac45\right|=\frac45<1\quad\checkmark$$

Den Grenzwert \(x\) finden wir nun so:$$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac45\cdot x_n\right)=\frac45\cdot\lim\limits_{n\to\infty}x_n\quad\bigg|x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$$$$x=\frac45\cdot x\quad\bigg|-\frac45\cdot x$$$$x-\frac45\cdot x=0\quad\bigg|x\text{ ausklammern}$$$$\left(1-\frac45\right)\cdot x=0\quad\bigg|\text{Bruch ausrechnen}$$$$\frac15\cdot x=0\quad\bigg|\cdot5$$$$x=0$$

Die Folge \((x_n)\) ist also eine Nullfolge.

Comments

Nur mal so als Abkürzungsvorschlag:
Da die Folge das Quotientenkriterium erfüllt, muss sie automatisch eine Nullfolge sein, denn dann ist ja die Reihe \(\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n\) konvergent und die Folge ihrere Glieder muss notwendigerweise eine Nullfolge bilden.

Answer 2

Es ist schon recht schwierig nicht zu sehen,

dass \(x_n=(4/5)^{n-1}x_1\) ist für \(n\geq 1\),

also \(x_n=(4/5)^n\cdot 5/4\cdot 23\).

Das ist das Produkt einer Nullfolge mit einer Konstanten,

also eine Nullfiolge.