Finden Sie U1 + U2 mit Variablen

Question

Aufgabe:

folgende Aufgabe zu Addition von Unterräumen.

Sei V = R^3 und U1, U2 ⊂ V gegeben durch

U1 = { v e V | v = (v1,v2,v3), v1=v2}

U2 = { v e V | v= ( v1,v2,v3) v2 = 0 )

1. Finden Sie U1 + U2

Kann man das so machen :

U1 + U2 = { v e V | v = k1 (v1,v2,v3)^T + k2 (v1,v2,v3)^T , k1,k2 e R}

Schreibe morgen eine Klausur und unsicher bei der Aufgabe.

LG

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren aus \(U_1\subset\mathbb R^3\) liegen in einem 2-dimensionalen Raum:$$\vec u_1=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_2}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_1}\\v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die Vektoren aus \(U_2\subset\mathbb R^3\) liegen ebenfalls in einem 2-dimensionalen Raum:$$\vec u_2=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_2}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\\pink0\\v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Der Raum \((U_1+U_2)\) muss beide Lösungsräume enthalten. Er wird aufgespannt durch:$$\operatorname{span}(U_1+U_2)=\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$Da die 3 Vektoren im Span linear unabhängig voneinander sind, bildet der Span insbesondere eine Basis. Also ist \(U_1+U_2=\mathbb R^3\).

Answer 2

Deine "Lösung" ist keine; du gehst ja gar nicht auf die Bedingungen ein,

denen die Vektoren von \(U_1\) und \(U_2\) gehorchen.

Es ist \((0,0,1),(1,1,0)\) ein Erzeugendensystem von \(U_1\) und

\((0,0,1),(1,0,0)\) ist ein Erzegendensystem von \(U_2\).

Damit ist \(U_1+U_2=span(\{(0,0,1),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)\})\).

Na, was ist das ?

Comments

Die 4 Vektoren spannen den R^3 auf. Danke für die Hilfe.

War verwirrt wegen der Notation.