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Aufgabe:


folgende Aufgabe zu Addition von Unterräumen.

Sei V = R3 und U1, U2 ⊂ V gegeben durch

U1 = { v e V | v = (v1,v2,v3), v1=v2}

U2 = { v e V | v= ( v1,v2,v3) v2 = 0 )


1. Finden Sie U1 + U2

Kann man das so machen :

U1 + U2 = { v e V | v = k1 (v1,v2,v3)T + k2 (v1,v2,v3)T , k1,k2 e R}

Schreibe morgen eine Klausur und unsicher bei der Aufgabe.



LG

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Aloha :)

Die Vektoren aus U1R3U_1\subset\mathbb R^3 liegen in einem 2-dimensionalen Raum:u1=(v1v2v3)=(v1v1v3)=v1(110)+v3(001)\vec u_1=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_2}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_1}\\v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

Die Vektoren aus U2R3U_2\subset\mathbb R^3 liegen ebenfalls in einem 2-dimensionalen Raum:u2=(v1v2v3)=(v10v3)=v1(100)+v3(001)\vec u_2=\begin{pmatrix}v_1\\\pink{v_2}\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\\pink0\\v_3\end{pmatrix}=v_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+v_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

Der Raum (U1+U2)(U_1+U_2) muss beide Lösungsräume enthalten. Er wird aufgespannt durch:span(U1+U2)=((110),(100),(001))\operatorname{span}(U_1+U_2)=\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)Da die 3 Vektoren im Span linear unabhängig voneinander sind, bildet der Span insbesondere eine Basis. Also ist U1+U2=R3U_1+U_2=\mathbb R^3.

Avatar von 152 k 🚀
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Deine "Lösung" ist keine; du gehst ja gar nicht auf die Bedingungen ein,

denen die Vektoren von U1U_1 und U2U_2 gehorchen.

Es ist (0,0,1),(1,1,0)(0,0,1),(1,1,0) ein Erzeugendensystem von U1U_1 und

(0,0,1),(1,0,0)(0,0,1),(1,0,0) ist ein Erzegendensystem von U2U_2.

Damit ist U1+U2=span({(0,0,1),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)})U_1+U_2=span(\{(0,0,1),(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)\}).

Na, was ist das ?

Avatar von 29 k

Die 4 Vektoren spannen den R3 auf. Danke für die Hilfe.

War verwirrt wegen der Notation.

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