Für welche Werte der Parameter a und k ist der Graph von h an der Stelle x=4 linksgekrümmt?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte der Parameter ist der Graph von h an der Stelle x=4 linksgekrümmt?

h(x)=ae^{-kx^2} -1 mit k > 0 und a > 0

Problem/Ansatz:

Für Linkskrümmung gilt ja h''(4) > 0. Also habe ich die zweite Ableitung gebildet: h''(x)=2ake^{-kx^2}(2kx²-1)

Also gilt nun: h''(4)= 2ake^-16k(32k-1) > 0

Diese Ungleichung müsste man jetzt nach k und a umstellen. Leider habe ich noch eine Ungleichung mit zwei Parametern gelöst. Ich komme auch nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

2e^{ ...} ist immer positiv.

Also musst du nur a•k•(32k-1)>0 untersuchen.

Zunächst einmal den Term in der Klammer.

Für k<1/32 ist er negativ, für k>1/32 positiv.

Das Vorzeichen der Faktoren vor der Klammer ist klar.

Es bleiben daher die drei Fälle

k<0 → 32k-1<0 → a>0    (- - +)

0<k<1/32--> 32k-1<0 → a<0    (+ - -)

k>1/32 → 32k-1>0 → a>0      (+ + +)

:-)

Comments

Dankeschön!!

Answer 2

Das Produkt ist >0, wenn beide Faktoren größer oder beide kleiner Null sind.

Comments

Das Produkt ist >0, wenn beide Faktoren größer oder beide kleiner Null sind.

Welche beiden Faktoren meinst du?

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Ich habe den Term vor der Klammer als den anderen Faktor aufgefasst,

was natürlich nicht astrein ist.