Aufgabe: Abb.: Komplette Lösung
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3. Sei \( V=\mathbb{C}[z]_{\leq 1}=\{p(z)=a z+b \mid a, b \in \mathbb{C}\} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 1. Seien \( \mathcal{B}=\{1, z\} \) und \( \mathcal{C}=\{z+1, z-1\} \) Basen von \( V \). Berechne:
(a) \( K_{\mathcal{B}}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]\right)=3 \cdot 1+2 \cdot z=2 z+3 \)
(b) \( K_{\mathcal{C}}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]\right)=3(z+1)+2(z-1)=5 z+1 \)
(c) Wegen \( 2 z+3=3 \cdot 1+2 \cdot z \) ist \( K_{\mathcal{B}}(2 z+3)=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right] \)
(d) \( 2 z+3=a(z+1)+b(z-1)=(a+b) z+(a-b) \). Ein Koeffizientenvergleich ergibt \( a+b=2 \) und \( a-b=3 \). LGS für \( a \) und \( b \) lösen:
also \( a=\frac{5}{2} \) und \( b=-\frac{1}{2} \) und damit \( K_{\mathcal{C}}(2 z+3)=\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5 / 2 \\ -1 / 2\end{array}\right] \).
4. Seien \( V, \mathcal{B}, \mathcal{C} \) wie in \( 3 ., f: V \rightarrow V \) mit \( f(p(z))=2 p(z)+p(1) \). Berechne \( f_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}, f_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}, f_{\mathcal{C}, \mathcal{C}} \). Bilder der Basisvektoren aus \( \mathcal{B} \) :
\( \begin{array}{l} f(1)=2 \cdot 1+1=3=3 \cdot 1+0 \cdot z=\frac{3}{2}(z+1)-\frac{3}{2}(z-1) \\ f(z)=2 z+1=1 \cdot 1+2 \cdot z=\frac{3}{2}(z+1)+\frac{1}{2}(z-1) \end{array} \)
also \( f_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \) und \( f_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}3 / 2 & 3 / 2 \\ -3 / 2 & 1 / 2\end{array}\right] \). Bilder der Basisvektoren aus \( \mathcal{C} \) :
\( \begin{array}{l} f(z+1)=2(z+1)+(1+1)=2 z+4=3(z+1)-1(z-1) \\ f(z-1)=2(z-1)+(1-1)=2 z-2=0(z+1)+2(z-1) \end{array} \)
also \( f_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right] \).
Problem:
Ich arbeite gerade Stoff auf und hab gefühlt den Großteil wieder vergessen :/
Zur Frage: Wie kommen wir auf den schnellen Schluss, dass fC,C so aussieht, wie hier ganz unten?
Schonmal Dank im Voraus und nen schönen morgen noch.
