Gebrochen rationale Funktion

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gebrochen rationale Funktionen \( f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a_{2} x^{x}+\cdots+a_{0}}{b_{n} x^{n}+\cdots+b_{0}^{\prime}} \) Zählergrad z, Nennergrad n
Waagrechte Asymptote:
Schräge Asymptote:
1) \( y=0(z<n) \) \( y=m x+t \) mit \( m \neq 0 \)
2) \( \mathrm{y}=\mathrm{c}=\frac{a_{z}}{b_{n}} \) mit \( \mathrm{c} \neq 0(\mathrm{z}=\mathrm{n}) \) \( (z=n+1) \) (Polynomdivision)
Annäherung an Graph einer Polynomfunktion vom Grad z - n
(Polynomdivision)

Was ist mit Annäherungen Graph einer Polynomfunktion vom Grad z-n gemeint.

Und was hat die polynomdivision damit zu tun.

Könnte mir das jemand an einem Beispiel bitte erklären.

Vielen Dank :)

Answer 1

Beispiel:

Zähler: höchste Potenz z= 5

Nenner: höchste Potenz n= 3

z-n = 2 ,du landest bei einer Parabel

Man kann bei solchen Funktionen eine Polynomdivision durchführen,

was z.B. beim Ableiten oder Integrieren hilfreich sein kann.

Comments

Danke uns was sagt des über das Verhalten im unendlichen aus ?

:)

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Muss der zähler dann immer größer als der Nenner sein?

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Danke uns was sagt des über das Verhalten im unendlichen aus ?

Das Unendlichkeitsverhalten der gebrochen rationalen Funktion

entspricht dem Unendlichkeitsverhalten der angenäherten

Polynomfunktion.

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Danke.

Aber warum mache ich eigentlich z-n wenn bei der polynomfunktion z/n gerechnet wird.

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z ist nicht der Zähler und n ist nicht der Nenner,

sondern z ist der Grad des Zählers und n der

Grad des Nenners. Natürlich rechnest du

Zähler geteilt durch Nenner. Aber der Grad

des angenäherten Polynoms ist dann z-n.

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Danke. Aber was sagt dies dann über das Verhalten im unendlichen aus. Also wofür mache ich das?

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Du weißt dann, wie für betragsmäßig große x

der Graph der Funktion sich angenähert verhält.

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Ok vielen Dank. Und das funktioniert nur wenn Zählergrad größer als Nennergrad ist oder

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Es funktioniert auch noch, wenn Zählergrad=Nennergrad ist.

Answer 2

Schau dir mal folgenden Graph einer Funktion an. Dann wirst du keine schräge oder horizontale Asymptote erkennen, wohl aber einen Graphen, der sich der gebrochen rationalen Funktion nähert.

~plot~ (x^3+x^2+1)/(x+1);x=-1;x^2;[[-4|4|-12|12]] ~plot~

Comments

Vielen lieben Dank. Somit ist  das Verhalten im unendlichen von , in diesem Fall, x² abhängig ?

Und eigentlich geht dies ja nur, wenn der Zählergrad mehr als eins größer als der nennergrad ist oder?

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Und eigentlich geht dies ja nur, wenn der Zählergrad mehr als eins größer als der nennergrad ist oder?

Richtig. Es bleibt ja auch nur noch z > n + 1 übrig, denn alle anderen Bedingungen würden ja bereits behandelt.