Warum kovergiert dieser Term nur für c= 1/2?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Warum kovergiert dieser Term nur für c= 1/2 ?

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \int \limits_{2}^{y}\left(\frac{c \cdot x}{x^{2}+1}-\frac{1}{2 \cdot x+1}\right) \mathrm{d} x & =\left[\left(\frac{c}{2} \cdot \log \left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{2} \cdot \log (2 \cdot x+1)\right)\right]_{x=2}^{y} \\ & =\frac{c}{2} \cdot \log \left(y^{2}+1\right)-\frac{1}{2} \cdot \log (2 \cdot y+1)-\frac{c}{2} \cdot \log (5)+\frac{1}{2} \cdot \log (5) \\ & =\frac{1}{2} \cdot \log \left(\frac{\left(y^{2}+1\right)^{c} \cdot 5}{(2 \cdot y+1) \cdot 5^{c}}\right) \end{aligned} \)
Der Grenzwert
\( \lim \limits_{y \rightarrow \infty} \log \left(\frac{\left(y^{2}+1\right)^{c} \cdot 5}{(2 \cdot y+1) \cdot 5^{c}}\right) \)
ist genau dann endlich, wenn \( c=\frac{1}{2} \) gilt. Das Integral existiert mit endlichem Wert folglich gen \( c=\frac{1}{2} \).

Answer 1

Es ist

        \(\begin{aligned} & \frac{\left(y^{2}+1\right)^{c}}{2y+1}\\ =\, & \frac{\left(y^{2}+1\right)^{c}}{y\left(2+\frac{1}{y}\right)}\\ =\, & \frac{\left(y^{2}\cdot\left(1+\frac{1}{y^{2}}\right)\right)^{c}}{y\left(2+\frac{1}{y}\right)}\\ =\, & \frac{y^{2c}\cdot\left(1+\frac{1}{y^{2}}\right)^{c}}{y\left(2+\frac{1}{y}\right)} \end{aligned}\)

Die Terme in den Klammern konvergieren gegen 1 bzw. 2.

Der Teil \(\frac{y^{2c}}{y}\) konvergiert gegen 0 für \(c < \frac{1}{2}\) und divergiert für \(c > \frac{1}{2}\). Nur für \(c=\frac{1}{2}\) konvergiert er gegen 1.

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Danke dir :).