Zeigen Sie, dass die Eigenschaft für eine \sigma-Algebra gilt

Question

Sei \( \mathscr{F} \) eine \( \sigma \)-Algebra auf einer nicht-leeren Menge \( \Omega \) und sei \( \mu \) ein \( \operatorname{Maß} \) auf \( (\Omega, \mathscr{F}) \). Beweise die folgenden Eigenschaften von \( \mathscr{F} \) und \( \mu \) :

a) Wenn \( A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathscr{F} \) mit \( m \in \mathbb{N} \), dann ist \( \bigcup_{i=1}^{m} A_{i} \in \mathscr{F} \)

Die \( \sigma \)-Algebra \( \mathscr{F} \) ist eine Teilmenge der Potenzmenge auf \( \Omega \) mit den folgenden Eigenschaften:

(i) \( \varnothing \in \mathscr{F} \)
(ii) \( A \in \mathscr{F} \quad \Longrightarrow \quad A^{c}:=\Omega \backslash A \in \mathscr{F} \)
(iii) \( A_{n} \in \mathscr{F} \) for all \( n \in \mathbb{N} \quad \Longrightarrow \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathscr{F} \)

In der Definition haben wir es mit der Vereinigung von einer zählbaren, unendlichen Sequenz von Mengen zu tun, wobei ich beweisen soll, dass dies auch für eine endliche Menge \(m \) gilt. Muss ich dafür die endliche Sequenz irgendwie in eine unendliche Sequenz umformen?

Comments

Setze \(A_i = \emptyset\) für \(i > m\).

Answer 1

Muss ich dafür die endliche Sequenz irgendwie in eine unendliche Sequenz umformen?

Mach das. Ob du das musst, weiß ich nicht. Aber es hilft.

Comments

Wie würde ich das eigentlich tun? Mir fällt da nicht wirklich ein Ausdruck ein dafür, der Sinn ergibt

---

Wenn \( A_{1}, \ldots, A_{m} \in \mathscr{F} \)

Um \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\) zu bestimmen, musst du noch für jedes \(i\in \mathbb{N}\) mit \(i > m\) definieren, was \(A_{i}\) sein soll.

Definiere die \(A_{i}\in \mathscr{F}\) so, dass

        \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{m} A_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\)

ist.