Zeigen Sie, dass die Folge beschränkt ist (mit Variablen als Grenze)

Question

Guten Tag,
ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der man eine Beschränkung nachweisen muss. Jedoch muss bei der Beweisführung viel mit Variablen gearbeitet werden (besonders wie ich in der Beweisführung p und q einbinde ist mir ein Rätzel). Ich komme leider nicht wirklich weiter und Recherche hat nicht wirklich geholfen. Daher möchte ich hiermit um Rat bitten.

Viele Grüße
Tom

Die Aufgabe:

Text erkannt:

b) Gegeben seien die Zahlen \( p \leq q \).
Gegeben sei außerdem eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit \( n \in \mathbb{N} \).
Dabei setzen wir Folgendes voraus:
Für alle \( n \) ist \( p \leq a_{n} \leq q \)
Zeigen Sie, dass dann die Folge \( \left(a_{n}\right) \) beschränkt ist, und zwar im Sinne der Vorlesung.

Das heißt, Sie sollen zeigen, dass ein \( K>0 \) existiert mit \( \left|a_{n}\right| \leq K \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
Hinweis:
Unterscheiden Sie zwischen den folgenden Fällen
Fall 1: \( a_{n} \geq 0, \quad \) Fall 2: \( a_{n}<0 \).
In jedem dieser Fälle können Sie eine obere Schranke für \( \left|a_{n}\right| \) finden. Aus diesen beiden Schranken ergibt sich dann eine für beide Fälle gültige obere Schranke \( K \). Dabei stellt sich heraus, dass sich \( K \) mit Hilfe von \( p \) und \( q \) ausdrücken lässt.

Answer 1

Fall 1: \( a_{n} \geq 0, \quad \)  Dann gilt  \( |a_{n}| =  a_{n} \)

Also liefert \( p \leq a_{n} \leq q \), dass q eine obere Schranke für \( \left|a_{n}\right| \) ist.

Fall 2: \( a_{n} \lt 0, \quad \)  Dann gilt \( |a_{n}| =  -a_{n} \)

Also liefert \( p \leq a_{n} \leq q \) die Ungleichung

(Zeichen umdrehen !)    \( -p \geq -a_{n} \geq -q \)

oder auch \( -q \leq |a_{n}| \leq -p \)

Also ist -p  eine obere Schranke für \( \left|a_{n}\right| \) ist.

Mit K = max{q, -p } ist also die Def. erfüllt.

Comments

Super, vielen Dank für die Hilfe! Ich habe es so ähnlich geschrieben aber war mir nicht sicher, ob es so reichen würde.

Schönen Tag noch :)