Intensionale Schreibweise von Mengen: Aussage als "Konstruktion" von Objekt

Question

Ich denke, bei der intensionalen Schreibweise von Mengen {x | A(x)} steht vor dem Strich die Art, wie das Objekt "konstruiert" wird und hinter dem Strich die Aussage, die gelten muss, damit das Objekt enthalten sind.

Man schreibt aber oft beispielsweise {x∈M | A(x)}. Dann ist aber x∈M eine Aussage und das Ganze hat allgemein die Form {A(x) | B(x)}. Es könnte auch sowas auftreten, wie {A(a,b) | B(a,b)}, beispielsweise {0<a≤b | a·b=16}. Woher soll dann klar sein, welches Objekt in der Menge enthalten ist? Ist das nur eine etwas weniger strenge Notation?

Zweitens: Wenn man {x | x∈N}, wie schreibt man das dann vereinfacht? {x∈N |} oder {x∈N}

Answer 1

Man schreibt aber oft beispielsweise {x∈M | A(x)}

Das ist eine Abkürzung für

        {x | x∈M und A(x)}.

Sie darf nur für ∈-Aussagen verwendet werden.

Im allgemeinen ist {x | A(x)} nicht notwendigerweise eine Menge (siehe Russellsche Antinomie). Das Aussonderungsaxiom garantiert jedoch, dass {x | x∈M und A(x)} eine Menge ist, wenn M eine Menge ist. Deshalb hat die Formel x∈M eine herausgehobene Bedeutung und darf ausnahmsweise vor dem | stehen. Gemeint ist damit, dass aus der Menge M die x ausgesondert werden, die A erfüllen.

Wenn man {x | x∈N}, wie schreibt man das dann vereinfacht?

Die Menge {x | x∈N} schreibt man vereinfacht N.