Beweise die Aussage: A ist eine Teilmenge von B <-> A und B geschnitten ergibt A

Question

Einleitung:

Heute begann mein dritter Tag des Statistik und Wirtschaftsmathematik Studium im 1. Semester. Unser Professor hat uns am Schluss der Vorlesung ein einfaches Beispiel gegeben. "Aller Einstieg ist schwer", das trifft auch auf meine derzeitige Situation. Häufig bin ich mir nicht ganz sicher, ob das was ich tue richtig ist, deshalb plage ich mich manchmal mit scheinbar banalen Dingen:

$$ A, B ... Mengen $$

$$ \alpha, \beta ... Aussagen $$

Beweise:

$$ A \subseteq{} B \Leftrightarrow A \cap B = A $$

(1)

$$ A \subseteq{} B $$

$$ \Leftrightarrow \forall x : x \in A \Rightarrow x \in B $$

$$ \Leftrightarrow \alpha \Rightarrow \beta $$

- Wahrheitstabelle 1 erstellen

(2)

$$ A \cap B = A $$

$$ \Leftrightarrow x : (x \in A \wedge x \in B \Leftrightarrow x \in A) $$

$$ \Leftrightarrow (\alpha \wedge \beta \Leftrightarrow \alpha) $$

- Wahrheitstabelle 2 erstellen

A: Die beiden Aussagen sind nicht äquivalent, da bei den beiden Wahrheitstabellen unterschiedliche Ergebnisse hinauskommen.

Frage:

Ist mein Vorgehen korrekt? Wie würde man das Beispiel ohne Tabelle beweisen?

Ich freue mich über jede Hilfe!

Comments

Als kleine Veranschaulichung, warum die beiden Aussagen äquivalent sind:

Wenn \(A\subseteq B\), dann gilt für jedes \(a\in A\implies a\in B\) aber NICHT \(b\in B \implies b\in A\) ! Im Venn-Diagramm veranschaulicht sieht das wie folgt aus:

Wenn wir nun den Schnitt \(A\cap B\) bilden, dann kommt gerade \(A\) heraus. Das liegt daran, dass alle Elemente aus \(A\) auch in \(B\) liegen, aber nicht umgekehrt.

Answer 1

Die beiden Aussagen sind in der Tat äquivalent.

Ich versuche das mal ausführlich zu erläutern:

1.) Was ist zu beweisen?

$$A\subseteq B \Leftrightarrow A\cap B = A$$

In Textform: "A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn der Mengenschnitt aus A und B die Menge A ergibt."

Zu beweisen hast du dann

$$A\subseteq B \Rightarrow A\cap B = A \ \text{ und } A\cap B=A \Rightarrow A\subseteq B$$

also 2 Dinge.

Das kann allerdings nochmal vereinfacht werden, da die Aussage

$$A\cap B \subseteq A$$

immer erfüllt ist, denn es gilt:

$$a\in A\cap B \Rightarrow a\in A \ \wedge a\in B \Rightarrow a\in A$$

also reicht es zu beweisen

$$(1) A\subseteq B \Rightarrow A\cap B \supseteq A \ \text{ und } (2) A\cap B \supseteq A \Rightarrow A\subseteq B$$

2.) Beweise die erstere Aussage (1):

$$\text{Angenommen } A\subseteq B \text{. Sei nun } a\in A \text{. Dann folgt nach Voraussetzung auch } a\in B \text{ also insgesamt } a\in A \ \wedge a\in B \text{ und damit } a\in A\cap B \text{. Nach Definition der Teilmenge folgt } A\subseteq A\cap B \text{.}$$

3.) Beweise die letztere Aussage (2):

$$\text{Angenommen } A\subseteq A\cap B \text{. Sei nun } a\in A \text{. Dann gilt nach Voraussetzung auch } a\in A \ \wedge a\in B \text{ also auch } a\in B \text{. Nach Definition der Teilmenge folgt } A\subseteq B \text{.}$$

Eine Wahrheitstabelle ist hier nicht vonnöten. Zwar nicht ausreichend für einen Beweis, allerdings kannst du dir mit den sogenannten Venn-Diagrammen die Beziehung zwischen den Mengen veranschaulichen. In diesen werden Menge als Kreise/Ovale dargestellt, die Teilmengenbeziehung dadurch, dass die eine Menge (der Kreis) komplett innerhalb der anderen liegt.

Weiteres dazu z.B. hier: https://de.serlo.org/mathe/sonstiges/mengenlehre-logik/mengenlehre/venn-diagramm#:~:text=Venn%2DDiagramme%20werden%20in%20der,Mengen%20oder%20Ereignissen%20grafisch%20darzustellen.

Wichtig ist: Nicht entmutigen lassen. NeverGiveUp.