Exponentialfunktionen eulersche Zahl

Question

Problem/Ansatz:

Hallo, ich frische gerade wieder mein Wissen zu Exponentialfunktionen zwecks dem Abitur auf, aber kann mir die Form a*e^(k*t) irgendwie nicht logisch herleiten.

Wieso wird genau die eulersche Zahl e verwendet, wieso ist sie für solche Exponentialfunktionen geeignet?

Answer 1

Aloha :)

Die Exponential-Funktion \(e^x\) hat viele mathematisch sehr angenehme Eigenschaften, d.h. man kann mit ihr sehr gut rechnen. Daher wird sie bei allen Formen von exponentiellem Wachstum gerne verwendet.

Du kannst auch jede andere Basis als die Euler'sche Zahl \(e\) verwenden. Wenn du z.B. eine Bakterienkultur hast, die ihren Bestand alle 8 Stunden verdoppelt, kannst du die Anzahl der Bakterien nach \(t\) Stunden wie folgt beschreiben:$$N(t)=N_0\cdot 2^{\frac{t}{8}}$$

Diesen Zusammenhang kannst du aber auch mit der Exponential-Funktion ausdrücken. Dazu musst du nur wissen, dass die Funktionen \(e^x\) und \(\ln(x)\) Umkehrfunktionen zueinander sind. Das heißt, sie heben ihre Wirkungen gegenseitig auf:$$e^{\ln(x)}=x\quad;\quad \ln(e^x)=x$$

Damit kannst du das Bakterien-Beispiel umformen:$$N(t)=N_0\cdot2^{\frac t8}=N_0\cdot e^{\ln(2^{\frac t8})}=N_0\cdot e^{\frac t8\cdot\ln(2)}=N_0\cdot e^{\frac{\ln(2)}{8}\cdot t}$$

Du musst in Abhängigkeit von dem jeweiligen Problem entscheiden, welche Darstellung eines exponentiellen Zusammenhangs am sinnvollsten ist. Wenn man viel rechnen muss, Extrema und anderen Kram bestimmen möche, ist die \(e\)-Funktion meistens die bessere Wahl.

Answer 2

e^k ist der Wachstum-bzw. Abnahmefaktor, k die entsprechende Konstante.

a*b^t = a*e^(lnb*t),

b = Wachstumsfaktor z.B. b= 1,05 = Wachstum um 5% pro Zeiteinheit, gemessen in t

a= Anfangsbestand

In der Wissenschaft wird meist mit e^(k*t) gearbeitet statt mit Wachstums-/Abnahmefaktoren

Answer 3

Hi,

die Zahl e wird daher verwendet, weil man damit leichter arbeiten kann. Das bezieht sich auf Integrale und Ableitungen, aber auch auf die oft genutzte Verdopplungszeit und Halbwertszeit.

Für letztere gilt bspw:

\(T_{1/2} = \frac{\ln(1/2)}{\ln(a)} = -\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\) für \(N(t) = N_0 a^t\)

Entscheiden wir uns jedoch für die e-Funktion, also \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)

\(T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\)

Grüße

Comments

die Zahl e wird daher verwendet, weil man damit leichter arbeiten kann.

Dafür ist die Konstante k oder -λ völlig unanschaulich.

Ohne sie umzurechnen ist sie eine nichtssagende Zahl.

Und mit logarithmieren kommt man auch leicht zu Ziel:

a^t = 5

t= ln5/ln a

e^(b*t) = 5

bt = ln5

t= ln5/b

Viel Zeit spart man damit auch nicht.

Für mich ist das gehupft wie gesprungen.

Mit e^... siehst nur wissenschaftlicher aus.

Answer 4

Bei Exponentialfunktionen kann man prinzipiell jede positive reelle Zahl außer 1 als Basis verwenden.

Da die Ableitung von e^x gleich e^x ist, hat sich e als meist verwendete Basis durchgesetzt. Außerdem ist der natürliche Logarithmus auch auf älteren Taschenrechnern vorhanden.

Comments

Außerdem ist der natürliche Logarithmus auch auf älteren Taschenrechnern vorhanden.

Und auf den neueren kann man jede Basis eingeben und ist völlig unabhängig

von den gängigen wie e oder 10 oder 2.

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Die Basis e hat sich aber schon zu Zeiten durchgesetzt, als es noch keine Taschenrechner gab und als mit Logarithmentafeln gearbeitet wurde. Und für eine einzelne Basis die Logarithmen zusammenzustellen, war deutlich handlicher als mit beliebig vielen.