Wahrscheinlichkeitsverteilung | Sigma-Stetigkeit | Abbildung

Question

Wir nehmen als Fakt: eine Wahrscheinlichkeitsverteilung \( P \) auf den reellen Zahlen ist bereits eindeutig bestimmt durch ihre Werte auf halb-offenen Intervallen \( (a, b]=\{y \in \mathbb{R} \mid a<y \leq \) \( b\} \) (mit \( a, b \in \mathbb{Q} \) ), denn alle anderen Mengen, denen wir eine Wahrscheinlichkeit zuordnen wollen, lassen sich geeignet disjunkt zerlegen und/oder die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann als Grenzwert geschrieben werden.

Beispiel: \( \{x\}=\bigcap_{n \geq 1}^{\infty}\left(x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\right] \) und mit der Eigenschaft ' \( \sigma \)-Stetigkeit von oben' gilt für \( A_{n}:=\left(x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}\right] \) und \( A:=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \) dass \( P(A)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right) \) ist. Nun ist \( x-\frac{1}{n} \) zwar im Allgemeinen keine rationale Zahl, aber es gibt für jede Fehlerschranke \( \delta>0 \) eine rationale Zahl \( y_{n, \delta} \in \mathbb{Q} \) mit Abstand \( 0 \leq x-\frac{1}{n}-y_{n, \delta}<\frac{\delta}{n^{2}} \), die noch unter \( x-\frac{1}{n} \) liegt. Damit ist dann (analog mit \( x+\frac{1}{n} \leq z_{n, \delta} \in \mathbb{Q} \) ) definierbar \( A_{n, \delta}:=\left(y_{n, \delta}, z_{n, \delta}\right] \) und \( A \stackrel{n}{=} \bigcap_{n \geq 1}^{\infty} A_{n, \delta} \) und \( A_{n, \delta}=\left(y_{n, \delta}, x-\frac{1}{n}\right] \cup A_{n} \cup\left(x+\frac{1}{n}, z_{n, \delta}\right] \) kommt beliebig nahe an \( A_{n} \) heran, damit auch \( \lim \limits_{\delta \rightarrow 0} P\left(A_{n, \delta}\right)=P\left(A_{n}\right) \)

Geben Sie unter Zuhilfenahme dieser Fakten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf \( \mathbb{R} \) an, indem Sie alle \( P((a, b]) \) für \( a, b \in \mathbb{Q} \) einen Wert (in Abhängigkeit von \( a, b) \) angeben, sodass \( P((-\infty, 0])=0 \) und \( P((1, \infty))=0 \) und für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt: \( P(\{x\})=0 \). Achten Sie darauf, dass \( P((0,1])=1 \) gilt.

Tipp: Sie müssen wirklich nur eine Abbildung \( (a, b) \mapsto P((a, b]) \in \mathbb{R} \) definieren sodass die Interpretation von \( P((a, b]) \) als Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl \( x \in \mathbb{R} \) tatsächlich \( x \in(a, b] \) ist, sinnvoll ist.

Ich bin dezent verwirrt durch die ganzen Notationen im Text, wäre es möglich, dass jemand mir das genauer erklärt wonach hier gefragt ist?

Answer 1

Das ist wirklich ziemlich viel Zusatzinformation, um die recht gekünstelte Aufgabe stellen zu können.

Das Beispiel ist nur eine Art Illustration, wieso es ausreicht, die Wahrscheinlichkeiten nur für linksoffene Intervalle mit rationalen Endpunkten anzugeben.

Es reicht sogar aus, die Wahrscheinlichkeiten nur für Intervalle der Form

\(P((-\infty, b]) =: F(b) \) 

anzugeben. Und das ist dann die berühmte Verteilungsfunktion zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Denn dann gilt

$$P((a,b]) = F(b) - F(a)$$

Das nutzen wir jetzt aus, um deine Aufgabe zu lösen. Dazu betrachten wir für \(x \in \mathbb R\) (oder \(\mathbb Q\) - ganz wie gewünscht)

$$F(x) = \left\{\begin{array}{rl} 0 & x\leq 0 \\ x & 0<x\leq 1 \\ 1 & x> 1\end{array} \right.$$

Das ist die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung auf dem Intervall \((0,1]\). Jetzt definieren wir

$$P((a,b]) = F(b) - F(a) \text{ für } a,b \in \mathbb Q$$

Fertig.

Comments

Erstmal danke für diese schöne Antwort. Eins verstehe ich leider noch nicht ganz:

Für die Verteilungsfunktion = 0 und =1 warum muss x<= 0 sein und nicht einfach gleich, dasselbe für 1?

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Du verwechselt möglicherweise die Verteilungsfunktion mit der Verteilungsdichte.

Eine ganz allgemeine Verteilungsfunktion zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf \(\mathbb R\) ist zunächst so definiert:
$$F(x) = P((-\infty,x])$$

Wenn du jetzt die Gleichverteilung auf \((0,1]\) betrachtest, muss für jedes x<0 für die zugehörige Wahrscheinlichkeit \(F(x) = P(-\infty,x]) = 0\) gelten, da ja x mit Wahrscheinlichkeit 0 links von (0,1] liegt.

Analog muss für jedes x>1 für die zugehörige Wahrscheinlichkeit \(F(x) = P(-\infty,x]) = 1\) gelten, denn dann ist \((0,1] \subset (-\infty,x]\).

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Jetzt habe ich es verstanden, danke sehr für ihre ausführliche Antwort!