Beweisen Sie die Existenz der folgenden Grenzwerte und bestimmen Sie diese.

Question

Aufgabe (i) Beweisen Sie die Existenz der folgenden Grenzwerte und bestimmen Sie diese.
(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{|x|^{3}}{x^{2}-x^{3}} \),
(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}}{x^{2}+x^{4}} \).
\( +2= \)
(ii) Bestimmen Sie die folgenden einseitigen Grenzwerte.
(a) \( \lim \limits_{x \nearrow 2} \frac{x^{2}+x+2}{2+\sqrt{2-x}} \),
(b) \( \lim \limits_{x \searrow 0} \frac{-6 x^{3}+7 x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{4}+4 x \sqrt{x}+\sqrt{x}} \).

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{|x|^3}{x^2-x^3}\stackrel{x<0}{=}\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{-x^3}{x^2-x^3}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{-1}{\frac1x-1}=\frac{-1}{0-1}=1$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^4}{x^2+x^4}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{1}{0+1}=1$$$$\lim\limits_{x\nearrow2}\frac{x^2+x+2}{2+\sqrt{2-x}}=\frac{2^2+2+2}{2+\sqrt{2-2}}=\frac82=4$$$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{-6x^3+7x^{\frac32}-x^{\frac12}}{2x^4+4x\sqrt x+\sqrt x}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{(-6x^{\frac52}+7x-1)\cdot\sqrt x}{(2x^{\frac72}+4x+1)\cdot\sqrt x}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{-6x^{\frac52}+7x-1}{2x^{\frac72}+4x+1}$$$$\phantom{\lim\limits_{x\searrow0}\frac{-6x^3+7x^{\frac32}-x^{\frac12}}{2x^4+4x\sqrt x+\sqrt x}}=\frac{-0+0-1}{0+0+1}=\frac{-1}{1}=-1$$

Answer 2

Bestimmung des Grenzwertes mit l´Hospital:

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^4}{x^2+x^4}= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{4x^3}{2x+4x^3}= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{12x^2}{2+12x^2} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{24x}{24x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{24}{24}=1\)