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Ich sitze seit Stunden an folgender Aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt:

Es sei \( \left(a_n\right)_{n \in \mathbf{N}} \) eine konvergente reelle Zahlenfolge mit \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Es sei \(a:=\lim _{n \rightarrow \infty} a_n\). Zeigen Sie, dass dann gilt

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}$$

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Diese Frage wurde bereits gestellt, z.B. (allerdings ohne Antwort) hier.

Aber du sagtest selbst sie wurde nicht beantwortet.

Es gibt auch eine mit Antwort. Die empfehle ich aber nicht, weil ich die für falsch halte.

1 Antwort

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Dann versuche ich mal eine Antwort.

Zunächst der Fall a=0 Wir zeigen \(\sqrt{a_n} \to \sqrt{a}=0\) direkt mit der Definition: Sei \(e>0\), wähle ein \(N \in \N\) mit:

$$\forall n \in \N: \quad n \geq N \Rightarrow a_n <e^2$$

Dann gilt:

$$\forall n \in \N: \quad n \geq N \Rightarrow \sqrt{a_n} <e$$

Für den Fall \(a>0\) wähle ein \(N \in \N\) mit

$$\forall n>N: \quad a_n \geq 0.25 a$$

Dann folgt die Konvergenz aus folgender Abschätzung

$$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|=\frac{|a_n-a|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}} \leq \frac{1}{1.5\sqrt{a}}|a_n-a| \to 0$$

Avatar von 14 k

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