Satz über konvergente Zahlenfolge beweisen

Question

Ich sitze seit Stunden an folgender Aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt:

Es sei \( \left(a_n\right)_{n \in \mathbf{N}} \) eine konvergente reelle Zahlenfolge mit \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Es sei \(a:=\lim _{n \rightarrow \infty} a_n\). Zeigen Sie, dass dann gilt

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}$$

Comments

Diese Frage wurde bereits gestellt, z.B. (allerdings ohne Antwort) hier.

---

Aber du sagtest selbst sie wurde nicht beantwortet.

---

Es gibt auch eine mit Antwort. Die empfehle ich aber nicht, weil ich die für falsch halte.

Answer 1

Dann versuche ich mal eine Antwort.

Zunächst der Fall a=0 Wir zeigen \(\sqrt{a_n} \to \sqrt{a}=0\) direkt mit der Definition: Sei \(e>0\), wähle ein \(N \in \N\) mit:

$$\forall n \in \N: \quad n \geq N \Rightarrow a_n <e^2$$

Dann gilt:

$$\forall n \in \N: \quad n \geq N \Rightarrow \sqrt{a_n} <e$$

Für den Fall \(a>0\) wähle ein \(N \in \N\) mit

$$\forall n>N: \quad a_n \geq 0.25 a$$

Dann folgt die Konvergenz aus folgender Abschätzung

$$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|=\frac{|a_n-a|}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a}} \leq \frac{1}{1.5\sqrt{a}}|a_n-a| \to 0$$