Berechnen Sie das uneigentliche Integral

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das uneigentliche Integral

\(\displaystyle \int \limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} d x \)

Problem/Ansatz:

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung: Vielen Dank im Voraus für die Hilfe. Liebe Grüße Sevi

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_1^\infty\frac{1}{x\sqrt x}\,dx=\int\limits_1^\infty\frac{1}{ x^{\frac32}}\,dx=\int\limits_1^\infty x^{-\frac32}\,dx=\left[\frac{x^{-\frac12}}{-\frac12}\right]_1^{\infty}=\left[-\frac{2}{\sqrt x}\right]_1^\infty$$$$\phantom I=\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{2}{\sqrt x}\right)-\left(-\frac{2}{\sqrt 1}\right)=0+2=2$$

Answer 2

1. Stammfunktion \(F\) von \(x\mapsto\frac{1}{x \sqrt{x}}\) bestimmen.
2. \(\lim\limits_{x\to \infty}F(x)\) berechnen.
3. \(F(1)\) berechnen.
   
4. Subtrahieren.
   

Answer 3

x*√x = x*x^(1/2) = x^(3/2)

f(x) = x^(-3/2)

-> F(x) = x^(-1/2)/(-1/2) = -2*x^(-1/2) = -2/√x + C

[-2*x^(-1/2)]von oo bis 1 = 0 -(-2) = 2