Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion für ein Gut, bei dem 1000 Stück zum Stückpreis von 15 Euro abgesetzt werden können

Question

Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können. Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jeweils 1000 Stück zu. Die Durchschnittskosten betragen konstant 10 €.

a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Erlös-, Kosten- und der Gewinnfunktion.

b) Bestimmen Sie die Absatzmenge und den Preis, bei denen der Gewinn am größten ist.

c) Geben Sie den maximalen Gewinn an.

Answer 1

Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können. Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jewils 1000 Stück zu. Die Durchschnittskosten betragen konstant 10 €.

a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Erlös-, Kosten- und der Gewinnfunktion.

p(x) = a * (x - px) + py = -1/1000 * (x - 1000) + 15 = 16 - x/1000

E(x) = x * p(x) = 16x - x^2/1000

K(x) = 10x

G(x) = E(x) - K(x) = 16x - x^2/1000 - 10x = 6x - x^2/1000

b) Bestimmen Sie die Absatzmenge und den Preis, bei denen der Gewinn am größten ist.

G'(x) = 6 - x/500 = 0
x = 3000 Stück

p(3000) = 19 Euro

c) Geben Sie den maximalen Gewinn an.

G(3000) = 9000 Euro

Hier noch eine Skizze

 

Comments

Hast du zu der Aufgabe a vielleicht noch eine kleine Erklärung?

Ich kann zwar nachvollziehen was du gemacht hast, aber nicht wie man daruf kommt.

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Also wie man auf die Gleichung zu p(x) kommt ist mir ein Rätsel.

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p(x) = a * (x - px) + py

ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a, die durch den Punkt P(px/py) geht.
Mathecoach verwendet hier eine Form der GEradengleichuung die man auch Punktsteigungsformel nennt, da man eine Steigung und einen Punkt einsetzen kann.

Du kannst auch

p(x) = ax + q ansetzen und dann P(px/py) einsetzen, um den Summanden q zu berechnen.

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Lu hat recht. Ich habe die Punkt-Steigungs-Form benutzt. Die ist sehr hilfreich, wenn man einen Punkt der Punktion kennt und zusätzlich die Steigung oder auch zwei Punkte.

In Deinem Fall kennst Du Einen Punkt:

Aufgrund der Preis-Absatz-Funktion für ein Gut ergibt sich, dass 1000 Stück dieses Gutes zu einem Preis von 15 € pro Stück abgesetzt werden können.

Also P(1000) = 15 oder der Punkt P(1000 | 15)

 Durch die Senkung des Preises um 1 € nimmt die Absatzmenge um jewils 1000 Stück zu.

Aus dieser Angabe wird die Steigung deutlich. Wenn wir die Ausbringungsmenge x um 1000 erhöhen müssen wir den Preis um 1 senken. Das ist eine Steigung von -1/1000 pro Stück.

Das setzen wir dann in die Punkt-Steigungs-Form ein und multiplizieren aus.

 

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Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Steigung auszurechnen.

Vielleicht mit der Grundform y = mx + b ? Oder geht das nicht, weil ich ja nur einen Punkt weiß und dazu 2 Punkte wissen muss?

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Die Steigung ist wie gesagt gegeben. Du müsstest für die Gleichung 

y = mx + b also nur den y-Achsenabschnitt bestimmen. Das macht man wenn man den Punkt in die Gleichung einsetzt und nach b auflöst.

Wie gesagt ist die Steigung aus dem Text bekannt und beträgt -1/1000

Der Preis fällt um 1 Euro pro 1000 Stück mehr verkauften Gütern.

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Danke dir, denke immer zu kompliziert und übersehe, dass die Lösung schon da steht.

Ich glaub jetzt hab ich es endlich verstanden :D