Extremwertberechnung bei einer Funktion

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \frac{(x^2+4x-5)*(x-3)}{(x-2)*(x-1)} \)

Die Funktion soll auf extremstellen und Monotonie untersucht werden.

Problem/Ansatz:

Um die Ableitung der Funktion zu bilden muss man zuerst die Quotientenregel anwenden oder erst die faktoregel jeweils im Zähler und nenner und danach die quotientenregel?

Answer 1

Hallo,

bei

deiner vorigen Frage wurde dir gezeigt, dass die Funktion so geschrieben werden kann:

$$f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}~~~~\text{für }x\ne1$$

Wende darauf die Quotientenregel an.

$$f'(x)=\frac{(2x+2)(x-2)+(x^2+2x-15)\cdot1}{(x-2)^2}~~~~\text{für }x\ne1$$

usw.

Comments

\(f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}~~~~\text{für }x\ne\red2\)

\(f'(x)=\frac{(2x+2)(x-2)\red-(x^2+2x-15)\cdot1}{(x-2)^2}~~~~\text{für }x\ne\red2\)

---

Nein, für x≠1, da dort eine Definitionslücke im ursprünglichen Term vorliegt.

---

Die Ableitung von f(x) ist bei mir (x^2-4x+11)/(x^2+4) Ich kann diese nicht 0 setzen und keine extrempunkte berechnen. Was ist der Fehler

---

Hallo,

der Zähler ist richtig, der Nenner falsch.

\( f(x)=\dfrac{x^{2}+2 x-15}{x-2}\\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4 x+11}{(x-2)^{2}} \)

Für die Extrema musst du nur den Zähler gleich Null setzen.

Dabei kommt aber heraus, dass es keine Extrema gibt.

Answer 2

Um das Gewusel mit der Quotientenregel weitgehends zu umgehen, kannst du die Funktion auch so schreiben:

$$f(x) =\frac{(x^2+4x-5)*(x-3)}{(x-2)*(x-1)}= x+4-\frac 7{x-2}\:\:, x\neq 1$$

Jetzt geht Differenzieren deutlich einfacher.