Aufgabe:
f(x)= (x2+4x−5)∗(x−3)(x−2)∗(x−1) \frac{(x^2+4x-5)*(x-3)}{(x-2)*(x-1)} (x−2)∗(x−1)(x2+4x−5)∗(x−3)
Die Funktion soll auf extremstellen und Monotonie untersucht werden.
Problem/Ansatz:
Um die Ableitung der Funktion zu bilden muss man zuerst die Quotientenregel anwenden oder erst die faktoregel jeweils im Zähler und nenner und danach die quotientenregel?
Hallo,
bei
deiner vorigen Frage wurde dir gezeigt, dass die Funktion so geschrieben werden kann:
f(x)=x2+2x−15x−2 fu¨r x≠1f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}~~~~\text{für }x\ne1f(x)=x−2x2+2x−15 fu¨r x=1
Wende darauf die Quotientenregel an.
f′(x)=(2x+2)(x−2)+(x2+2x−15)⋅1(x−2)2 fu¨r x≠1f'(x)=\frac{(2x+2)(x-2)+(x^2+2x-15)\cdot1}{(x-2)^2}~~~~\text{für }x\ne1f′(x)=(x−2)2(2x+2)(x−2)+(x2+2x−15)⋅1 fu¨r x=1
usw.
f(x)=x2+2x−15x−2 fu¨r x≠2f(x)=\frac{x^2+2x-15}{x-2}~~~~\text{für }x\ne\red2f(x)=x−2x2+2x−15 fu¨r x=2
f′(x)=(2x+2)(x−2)−(x2+2x−15)⋅1(x−2)2 fu¨r x≠2f'(x)=\frac{(2x+2)(x-2)\red-(x^2+2x-15)\cdot1}{(x-2)^2}~~~~\text{für }x\ne\red2f′(x)=(x−2)2(2x+2)(x−2)−(x2+2x−15)⋅1 fu¨r x=2
Nein, für x≠1, da dort eine Definitionslücke im ursprünglichen Term vorliegt.
Die Ableitung von f(x) ist bei mir (x2-4x+11)/(x2+4) Ich kann diese nicht 0 setzen und keine extrempunkte berechnen. Was ist der Fehler
der Zähler ist richtig, der Nenner falsch.
f(x)=x2+2x−15x−2f′(x)=x2−4x+11(x−2)2 f(x)=\dfrac{x^{2}+2 x-15}{x-2}\\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4 x+11}{(x-2)^{2}} f(x)=x−2x2+2x−15f′(x)=(x−2)2x2−4x+11
Für die Extrema musst du nur den Zähler gleich Null setzen.
Dabei kommt aber heraus, dass es keine Extrema gibt.
Um das Gewusel mit der Quotientenregel weitgehends zu umgehen, kannst du die Funktion auch so schreiben:
f(x)=(x2+4x−5)∗(x−3)(x−2)∗(x−1)=x+4−7x−2 ,x≠1f(x) =\frac{(x^2+4x-5)*(x-3)}{(x-2)*(x-1)}= x+4-\frac 7{x-2}\:\:, x\neq 1f(x)=(x−2)∗(x−1)(x2+4x−5)∗(x−3)=x+4−x−27,x=1
Jetzt geht Differenzieren deutlich einfacher.
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