minimalenlen Materialverbrauch bei quadratische Kiste?

Question

Aufgabe:

eine geschlossene, quadratische Kiste bauen, die ein Volumen von 1000 Liter
fasst. Dabei soll möglichst wenig Material verbraucht werden.

Welche Seitenlänge und welche Höhe muss die Kiste haben, um einen minima-
len Materialverbrauch zu erzielen?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich das mit einer Extremwert berechnung machen muss...Also Hauptbedingung Nebenbedingung usw. Aber wenn die Kiste quadratisch sein muss, dann ist sie doch ein Würfel..und bei einem Würfel sind Seitenlänge sowie Höhe a. Also würd a=10 sein. Weil a^3=Volumen und die dritte Wurzel aus 1000=10

Hab ich da einen falschen Ansatz oder passt das so?

Answer 1

Minimal soll die Oberfläche der Kiste werden: (1) O(a)=2a²+4ah. Außerdem ist das Volumen gegeben: (2) 1000=a²·h. Löse (2) nach h auf und setze in (1) ein. Leite nach a ab und bestimme die Nullstelle der Ableitung (Ergebnis wird in dm bestimmt).

Answer 2

V = a^2*h = 1000

h= 1000/a^2

O = 2a^2+ 4*a*h

O(A) = 2a^2+ 4000/a

O'(a) =0

4a-4000/a^2 =0

4a^3 = 4000

a^3 = 1000

a= 10

Der Körper ist ein Würfel.

Welche Seitenlänge und welche Höhe muss die Kiste haben, um einen minima-
len Materialverbrauch zu erzielen?