Sei
\( E=\left\{\vec{a}+s \vec{v}_{1}+t \vec{v}_{2}: s, t \in \mathbb{R}\right\} \)
mit \( \vec{a}, \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} \in \mathbb{R}^{3} \) eine Ebene und es gelte eine der äquivalenten Bedingungen aus T3. Zeigen Sie es gibt eine Zahl \( b \in \mathbb{R} \) und \( \vec{\nu}=\left(\nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) mit
\( E=\left\{\vec{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: \nu_{1} x_{1}+\nu_{2} x_{2}+\nu_{3} x_{3}=b\right\} \)
T3 Bedingung ist das die Vektoren lineare unabhängig sind.
\( E=\left\{\vec{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: \nu_{1} x_{1}+\nu_{2} x_{2}+\nu_{3} x_{3}=b\right\} ., b:=B \)
\( \begin{array}{l}\overrightarrow{v_{1}} \times \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l}v_{1 \cdot 1} \\ v_{1.2} \\ v_{1.3}\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}v_{2 \cdot 1} \\ v_{2 \cdot 2} \\ v_{2.3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}v_{1.2} v_{2.3}-v_{1.3} v_{2 \cdot 2} \\ v_{1.3} v_{2.1}-v_{1 \cdot 1} v_{2 \cdot 3} \\ v_{1.1} v_{2.2}-v_{1.2} v_{2 \cdot 1}\end{array}\right):=\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right) \\ \Rightarrow\left(v_{1.2} v_{2.3}-v_{1.3} v_{2.2}\right) a_{1}+\left(v_{1.3} v_{2.1}-v_{1.1} v_{2.3}\right) a_{2}+\left(v_{1.1} v_{2.2}-v_{1.2} v_{2.1}\right) a_{3}=B \\ \Leftrightarrow v_{1} a_{1}+v_{2} a_{2}+v_{3} a_{3}=B \\ \text { Allgemein } v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+v_{3} x_{3}=B \\\end{array} \)
