Aufgabe:
Text erkannt:
2.31 Gegeben seien zwei Ereignisse \( A \) und \( B \) jeweils mit Wahrscheinlichkeiten \( \mathbb{P}(A)=\frac{3}{4} \) und \( \mathbb{P}(B)=\frac{1}{3} \).
(a) Zeige, dass
\( \frac{1}{12} \leq \mathbb{P}(A \cap B) \leq \frac{1}{3} \)
(b) Gib Beispiele für beide Grenzfälle an. Betrachte dazu die die Menge \( \{1,2, \ldots, 12\} \) und nimm an, dass \( \mathbb{P}(n)=\frac{1}{12} \) für jede Nummer \( n \in\{1,2, \ldots, 12\} \).
Finde Teilmengen \( A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} \), sodass \( \mathbb{P}\left(A_{1}\right)=\mathbb{P}\left(A_{2}\right)=\frac{3}{4}, \mathbb{P}\left(B_{1}\right)=\mathbb{P}\left(B_{2}\right)=\frac{1}{3} \) und \( \mathbb{P}\left(A_{1} \cap B_{1}\right)= \) \( \frac{1}{12}, \mathbb{P}\left(A_{2} \cap B_{2}\right)=\frac{1}{3} \)
(c) Zeige die entsprechende Schranken für \( \mathbb{P}(A \cup B) \) :
\( \frac{3}{4} \leq \mathbb{P}(A \cup B) \leq 1 \)
Hinweis: \( -\mathbb{P}(C) \geq-1 \) für jeden Ereignis \( C \).
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
2.31 Gegeßen seien zwei breignisse A und B jeweils mit Wahrscheinlichkeiten \( \mathbb{P}(A)=\frac{3}{4} \) und \( \mathbb{P}(B)=\frac{1}{3} \).
(a) zeige, dass
\( \begin{array}{l} \frac{1}{12} \leqslant \mathbb{P}(A \cap B) \leqslant \frac{1}{3} \\ P(A \cap B)=\mathbb{P}(A) \cdot P(B)=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4} \\ \frac{1}{12} \leqslant \frac{3}{12}=\left(\frac{1}{4}\right) \leqslant\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{12} \end{array} \)
(b) Gib Bispiele für Beide Grenzfalle an. Betrachte dazu die llenge \( \{1,2, \ldots, 12\} \) und nimm, an, dass \( \mathbb{P}(n)=\frac{1}{12} \) für jede Numiner \( n \in\{1,2, \ldots, 12\} \)
\( \begin{aligned} \frac{1}{12} & \mathbb{P}(A \cap B) \leqslant \frac{1}{3}=\frac{4}{12} \\ & \text { Grenztalle } \\ \mathbb{P}(n)=4 \frac{1}{12} & \frac{4}{12}=\mathbb{P}(n<5)=\mathbb{P}(n>8)=\mathbb{P}(3 \ln ) \end{aligned} \)
Finde Teilmengen \( A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} \), sodass \( \mathbb{P}\left(A_{1}\right)=\mathbb{P}\left(A_{2}\right)=\frac{3}{4} \),
\( \begin{array}{lll} \mathbb{P}\left(B_{1}\right)=\mathbb{P}\left(B_{2}\right)=\frac{1}{3,1} \text { und } & \mathbb{4}\left(A_{1} \cap B_{1}\right)=\frac{1}{12}, \mathbb{P}\left(A_{2} \cap B_{2}\right)=\frac{1}{3}=\frac{4}{12} \\ A_{1}=\{n: 4<n<12\} & B_{1}=\{n \in \mathbb{Z} \\ A_{2}=\{n: 1<n<9\} & B_{2}=\{n: 1<n<4\} \\ A_{1} \cap B_{1}=\{4\} & A_{2} \cap B_{2}=\{2,4,6, P\} & \{1,2,3,4\} \\ & \{2,4,6,8\} \end{array} \)
(c) Zuge die entsprechende Schranken für \( \mathbb{P}(A \cup B): \begin{array}{l}\text { Hinceis: } \\ -P(c) \geqslant-1 \text { für } \\ \text { jeden breignus } C .\end{array} \)
\( \begin{array}{c} \mathbb{P}(A \cup B)=\mathbb{P}(A)+P(B)-\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A)+P(B)-P(A) P(B)=\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6} \\ \frac{3}{4} \leqslant \frac{5}{6} \leqslant 1 \\ \frac{9}{12} \leqslant \frac{10}{12} \end{array} \)
Hallo! Ich habe es irgendwie gelöst, aber bitte euch mich überzuprüfen. Und ich verstehe diesen Hinweis nicht :(( wozu brauche ich das?
LG
