Flächeninhalt eines Fünfecks ausrechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= -0,05x³ +x +4. Die Punkte O(0,0) ; P(5,0) ; Q(5,f(5)) ; R(u,f(u)) und S(0,f(0)) sind Eckpunkte eines Fünfecks. Die Lage von R hängt von u ab (0≤u≤5)

a) Verwenden sie die Flächeninhaltsformel für Trapeze und zeigen Sie, dass sich der Flächeinhalts A des Fünfecks OPQRS mithilfe der Gleichung A(u)= 1/2 ( 4+f(u))u + 1/2 (f(u) +2,75) (5-u) berechnen lässt.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe, wie kann ich mit der Gleichung einen Flächeninhalt ausrechnen?

Comments

Addiere die Flächen der beiden Trapeze \(OR_0RS\) und \(R_0PQR\):

https://www.desmos.com/calculator/i3wg9ke5bt

Oben im Bild kannst Du den Punkt \(R\) mit der Maus verschieben. Den maximalen Flächeninhalt erhält man, wenn die Steigung der Funktion \(f\) in \(R\) identisch zur Steigung der Geraden durch \(S\) und \(Q\) ist.

Answer 1

Teile das Fünfeck in zwei Trapeze auf indem du die Srecke vom Punkt \(R\) zum Punkt \((u|0)\) einzeichnest.

Stelle eine Formel für die Summe \(A(u)\) der Flächeninhalte der beiden Trapeze auf.

Forme die Formel um bis du

      \(A(u) = \frac{1}{2} ( 4+f(u))u + \frac{1}{2} (f(u) +2,75) (5-u)\)

bekommst.

Comments

wie soll ich mit den formeln von den trapezen die formel A(u) umformen? Für die Trapeze habe ich folgende Formeln: A₁= 4+f(u) /2 *u und für A₂=3+f(u) /2 *u

stimmt das?

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stimmt das?

Nein - es fehlen die Klammern

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oh stimmt, danke! stimmt es aber sonst?

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wenn Du an den notwendigen Stellen Klammern einfügst, ist \(A_1\) richtig.

Ansosnsten beantworte folgende Fragen:

Wie groß ist \(f(5)\)?

Wie groß ist die "Höhe" des zweiten Trapez - also der horizontale Abstand von \(R\) zu \(Q\) bzw. \(P\)?

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Ich kann die Antwort leider nicht mehr verbessern..

aber f(5) = 2,75 und die höhe kann man doch nicht ablesen bzw. ausrechnen oder? habe gerade gemerkt dass Q sich auch nicht bei 3 schneidet. Deshalb kann man auch nicht die Höhe ausrechnen...

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f(5) = 2,75 und die höhe kann man doch nicht ablesen bzw. ausrechnen oder?

warum soll man \(f(5)\) nicht ausrechen können?? Die Funktion \(f\) ist doch gegeben. Einsetzen von \(x=5\) liefert das Ergebnis:$$f(x)= -0,05x^{3} +x +4 \\ f(5)= -0,05 \cdot 5^3 + 5 + 4 \\ \phantom{f(5)} = -\frac{5^3}{20} + 9 = -\frac{5^2}{4} + \frac{36}{4}\\\phantom{f(5)}=\frac{36-25}{4} = \frac{11}{4} = 2,75$$

habe gerade gemerkt dass Q sich auch nicht bei 3 schneidet. Deshalb kann man auch nicht die Höhe ausrechnen...

Keine Ahnung wie ein Punkt (also \(Q\)) sich bei 3 schneiden kann? Die "Höhe" des Trapez \(R_0PQR\) (siehe mein Kommentar hinter Deiner Frage) ist der horizontale Abstand von \(R_0\) nach \(Q\) - das Trapez liegt 'auf der Seite!'

Horizontaler Abstand heißt die Differenz der beiden X-Koordinaten. Die X-Koordinate von \(R_0\) ist \(u\) und die X-Koordinate von \(P\) ist \(5\). Wie groß ist dann die Differenz und damit die 'Höhe' des Trapez \(R_0PQR\)?