Flächeninhalt eines Fünfecks ausrechnen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= -0,05x³ +x +4. Die Punkte O(0,0) ; P(5,0) ; Q(5,f(5)) ; R(u,f(u)) und S(0,f(0)) sind Eckpunkte eines Fünfecks. Die Lage von R hängt von u ab (0≤u≤5)

a) Verwenden sie die Flächeninhaltsformel für Trapeze und zeigen Sie, dass sich der Flächeinhalts A des Fünfecks OPQRS mithilfe der Gleichung A(u)= 1/2 ( 4+f(u))u + 1/2 (f(u) +2,75) (5-u) berechnen lässt.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe, wie kann ich mit der Gleichung einen Flächeninhalt ausrechnen?

Comments

Addiere die Flächen der beiden Trapeze $OR_0RS$ und $R_0PQR$:

Oben im Bild kannst Du den Punkt $R$ mit der Maus verschieben. Den maximalen Flächeninhalt erhält man, wenn die Steigung der Funktion $f$ in $R$ identisch zur Steigung der Geraden durch $S$ und $Q$ ist.

Answer 1

Teile das Fünfeck in zwei Trapeze auf indem du die Srecke vom Punkt $R$ zum Punkt $(u|0)$ einzeichnest.

Stelle eine Formel für die Summe $A(u)$ der Flächeninhalte der beiden Trapeze auf.

Forme die Formel um bis du

      $A(u) = \frac{1}{2} ( 4+f(u))u + \frac{1}{2} (f(u) +2,75) (5-u)$

bekommst.

Comments

wie soll ich mit den formeln von den trapezen die formel A(u) umformen? Für die Trapeze habe ich folgende Formeln: A₁= 4+f(u) /2 *u und für A₂=3+f(u) /2 *u

stimmt das?

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stimmt das?

Nein - es fehlen die Klammern

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oh stimmt, danke! stimmt es aber sonst?

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wenn Du an den notwendigen Stellen Klammern einfügst, ist $A_1$ richtig.

Ansosnsten beantworte folgende Fragen:

Wie groß ist $f(5)$?

Wie groß ist die "Höhe" des zweiten Trapez - also der horizontale Abstand von $R$ zu $Q$ bzw. $P$?

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Ich kann die Antwort leider nicht mehr verbessern..

aber f(5) = 2,75 und die höhe kann man doch nicht ablesen bzw. ausrechnen oder? habe gerade gemerkt dass Q sich auch nicht bei 3 schneidet. Deshalb kann man auch nicht die Höhe ausrechnen...

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f(5) = 2,75 und die höhe kann man doch nicht ablesen bzw. ausrechnen oder?

warum soll man $f(5)$ nicht ausrechen können?? Die Funktion $f$ ist doch gegeben. Einsetzen von $x=5$ liefert das Ergebnis:$$f(x)= -0,05x^{3} +x +4 \\ f(5)= -0,05 \cdot 5^3 + 5 + 4 \\ \phantom{f(5)} = -\frac{5^3}{20} + 9 = -\frac{5^2}{4} + \frac{36}{4}\\\phantom{f(5)}=\frac{36-25}{4} = \frac{11}{4} = 2,75$$

habe gerade gemerkt dass Q sich auch nicht bei 3 schneidet. Deshalb kann man auch nicht die Höhe ausrechnen...

Keine Ahnung wie ein Punkt (also $Q$) sich bei 3 schneiden kann? Die "Höhe" des Trapez $R_0PQR$ (siehe mein Kommentar hinter Deiner Frage) ist der horizontale Abstand von $R_0$ nach $Q$ - das Trapez liegt 'auf der Seite!'

Horizontaler Abstand heißt die Differenz der beiden X-Koordinaten. Die X-Koordinate von $R_0$ ist $u$ und die X-Koordinate von $P$ ist $5$. Wie groß ist dann die Differenz und damit die 'Höhe' des Trapez $R_0PQR$?