Beweis, dass eine Funktion surjektiv ist, aber nicht inkektiv ist.

Question

Sehr geehrte Mitglieder,

ich habe erneut eine Frage, ich kenne zwar das Vorgehen für den Beweis, dass eine Funktion injektiv und surjektiv ist, leider weiß ich nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss.

Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion

g: ℕ →  ℕ

g(a) = a/4 (a geteilt durch 4), falls a durch 4 teilbar ist, ansonsten 3a+1

surjektiv ist, aber nicht injektiv. Ferner soll man auch noch eine Teilmenge T ⊂ ℕ, sodass g_T: T → ℕ bijektiv ist.

Ich bedanke mich Vielmals im Voraus.

Answer 1

Hallo,

dass \( g \) nicht injektiv ist, solltest du selber zeigen können. Woran scheiterst du bei der Suche nach \(x,y\in\mathbb{N}, x\neq y \) sodass \(g(x) = g(y)? \)

Zur Surjektivität:

Sei \(n\in \mathbb{N} \). Setze \( x = 4n \). Dann ist \( g(x) = x/4 = 4n/4 = n \), also g surjektiv.

Vielleicht hilft der Gedanke bei der Surjektivität ja bei der Wahl von \(T \subset \mathbb{N}\).

Comments

Ich versteh nur nicht wie ich die beiden Formeln Verwende um zu zeigen, dass sie Funktion nicht injektiv ist, es sind dich beide lineare Funktionen?

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Was meinst du mit

es sind dich beide lineare Funktionen?

und was hat das mit der Injektivität zu tun?

Wann ist eine Abbildung denn überhaupt injektiv?

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Ich dachte, wenn eine Funktion injektiv ist hat jeder y-Wert höchstens einen X-Wert, oder lieg ich falsch?

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Wenn du noch korrekt erklären würdest, was ein "x-Wert" und ein "y-Wert" ist, sollte das passen, ist aber sehr unsauber.

In Zeichen meinst du aber wohl:

\( \forall n,m\in\mathbb{N}:  g(n) = g(m) \implies n = m \)

Jetzt geht es darum in diesem Beispiel einen Fall zu finden, wo diese Bedingung verletzt ist.

Wie wäre es mit \( y = 4 \)? Findest du zwei verschiedene natürliche Zahlen \(n,m\in\mathbb{N} \) sodass \( g(n) = g(m) =4 \)?

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Ahhh vielen Dank, g(16) für x/4 und g(1) für 3x+1, wie beweise ich das dann Mathematisch?

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Genau.

Naja, du hast es ja schon da stehen. Es gilt

\( g(16) = g(1) = 4 \) (aber \( 16 \neq 1 \)), also ist g nicht injektiv.

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Also kann ich es dann durch ein Gegenbeispiel Wiederlegen oder kann man es nicht allgemeiner Wiederlegen anhand den Formeln?

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Und wie finde ich die Teilmenge T?

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durch die Angabe des Gegenbeispiels ist es allgemein widerlegt.

Naja du musst eine Teilmenge finden, sodass die Surjektivität erhalten bleibt und du die Einschränkung von g auf diese Teilmenge injektiv wird.

Beim Beweis der Surjetivität haben wir ja nur durch vier teilbare natürliche Zahlen benötigt.

Wie wäre es also mit \( T = \lbrace{ n\in\mathbb{N} | n \, \text{durch 4 teilbar}\rbrace} \)? Ist \(g_T\) injektiv?

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Vielen vielen Dank für deine Hilfe und Geduld, schätze deine Hilfe sehr.