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(a) Die fünften Einheitswurzeln sind ζ : =e2πi/5 \zeta:=e^{2 \pi i / 5} und ζ2,ζ3,ζ4 \zeta^{2}, \zeta^{3}, \zeta^{4} . Zusammen mit 1 sind sie die Ecken eines regulären Fünfecks.So wie cos2π10 \cos \frac{2 \pi}{10} ist hier cos2π5 \cos \frac{2 \pi}{5} und cos4π5 \cos \frac{4 \pi}{5}  ähnlich zu bestimmen:
0=ζ51=(ζ1)(ζ4+ζ3+ζ2+ζ+1), also 0=ζ4+ζ3+ζ2+ζ+1, also 0=ζ2+ζ+1+ζ1+ζ2=(ζ+ζ1)2+(ζ+ζ1)1,=(ζ2+ζ2)2+(ζ2+ζ2)1, also 2cos2π5=ζ+ζ1=12+14+1=512 und 2cos4π5=ζ2+ζ2=1214+1=512. \begin{aligned} 0 & =\zeta^{5}-1=(\zeta-1)\left(\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1\right), \\ \text { also } 0 & =\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1, \\ \text { also } 0 & =\zeta^{2}+\zeta+1+\zeta^{-1}+\zeta^{-2} \\ & =\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)^{2}+\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)-1, \\ & =\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)^{2}+\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)-1, \\ \text { also } 2 \cos \frac{2 \pi}{5} & =\zeta+\zeta^{-1}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \text { und } 2 \cos \frac{4 \pi}{5} & =\zeta^{2}+\zeta^{-2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} . \end{aligned}
Bestimmen Sie sin2π5 \sin \frac{2 \pi}{5} und sin4π5 \sin \frac{4 \pi}{5} und berechnen Sie 1÷ζ |1 \div \zeta| .
(b) Schließen Sie aus (a) auf den Abstand zwischen Mittelpunkt und einer Ecke in einem regulären Fünfeck mit Seitenlängen gleich 1.
(c) Das folgende linke Bild (das rechte Bild betrifft Aufgabe 4) soll eine Pyramide zeigen, die fünf Seiten hat, die alle reguläre Dreiecke mit Seitenlängen gleich 1 sind. Also ist ihre Grundfläche ein reguläres Fünfeck. Sei P P die Spitze der Pyramide und N N der Mittelpunkt der Grundfläche. Bestimmen Sie die Höhe NP |N P| der Pyramide. (Hinweis: (b) und einmal Pythagoras.)

Es scheitert bei mir komplett an der 1 a. Kann mir jemand sagen, was ich hier machen muss oder das am besten mal ausführlich vorrechnen.

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Verwende (sinx)2+(cosx)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1.

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Wo soll ich das einsetzen?

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