Fünfte Einheitswurzel und Fünfeck

Question

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(a) Die fünften Einheitswurzeln sind $\zeta:=e^{2 \pi i / 5}$ und $\zeta^{2}, \zeta^{3}, \zeta^{4}$. Zusammen mit 1 sind sie die Ecken eines regulären Fünfecks.So wie $\cos \frac{2 \pi}{10}$ ist hier $\cos \frac{2 \pi}{5}$ und $\cos \frac{4 \pi}{5}$ ähnlich zu bestimmen:
$\begin{aligned} 0 & =\zeta^{5}-1=(\zeta-1)\left(\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1\right), \\ \text { also } 0 & =\zeta^{4}+\zeta^{3}+\zeta^{2}+\zeta+1, \\ \text { also } 0 & =\zeta^{2}+\zeta+1+\zeta^{-1}+\zeta^{-2} \\ & =\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)^{2}+\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)-1, \\ & =\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)^{2}+\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)-1, \\ \text { also } 2 \cos \frac{2 \pi}{5} & =\zeta+\zeta^{-1}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ \text { und } 2 \cos \frac{4 \pi}{5} & =\zeta^{2}+\zeta^{-2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} . \end{aligned}$
Bestimmen Sie $\sin \frac{2 \pi}{5}$ und $\sin \frac{4 \pi}{5}$ und berechnen Sie $|1 \div \zeta|$.
(b) Schließen Sie aus (a) auf den Abstand zwischen Mittelpunkt und einer Ecke in einem regulären Fünfeck mit Seitenlängen gleich 1.
(c) Das folgende linke Bild (das rechte Bild betrifft Aufgabe 4) soll eine Pyramide zeigen, die fünf Seiten hat, die alle reguläre Dreiecke mit Seitenlängen gleich 1 sind. Also ist ihre Grundfläche ein reguläres Fünfeck. Sei $P$ die Spitze der Pyramide und $N$ der Mittelpunkt der Grundfläche. Bestimmen Sie die Höhe $|N P|$ der Pyramide. (Hinweis: (b) und einmal Pythagoras.)

Es scheitert bei mir komplett an der 1 a. Kann mir jemand sagen, was ich hier machen muss oder das am besten mal ausführlich vorrechnen.

Answer 1

Verwende $(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1$.

Comments

Wo soll ich das einsetzen?