Menge der Eigenwerte und der Lösung der Differenzialgleichung DGL 2. Ordnung

Question

ich habe die folgende Aufgabe,

Ich probierte es zu rechnen aber ich komme nicht weiter.
Kann jemand mir weiter helfen.

Danke im voraus

Text erkannt:

in
1 Spielwiese Cifferenzisigle \( \times \) |th Kurs Mathematik 25523
\( \times \mid \) If 1 Minisest Differensiagleic: \( \times \)
moodle.hs-esslingen.de/moodle/mod/quiz/review.php?attempt \( =3644908 \mathrm{icmid}=325755 \)
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Eine richtige Antwort ist \( \frac{\text { armprof }}{5}+2 \cdot \cos (5-x) \). Se kann so eingegeben werden: \( \left(2^{*} \sin \left(5^{*} x\right)\right) / 5+2^{*} \cos \left(5^{*} x\right) \)
Thre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( x_{5}+9+4 \)
In threr Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( \left[x_{5}\right] \)
Fleellwertige Losung der Differenzialgleichung \( y_{R}(x)=1 \mathrm{x}+7+5 \)
Thre letate Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( 1 \cdot x+7+5 \)
In lhrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: \( [x] \)
Falsche Antwort.
Leider ist die funktion, die sie für yc eingegeben haben nicht komplexwertig-
Leider ist lhre lösung für \( y_{R} \) nicht korrekt.
Eine borrekte Lösung lautet: \( y_{\pi}=e^{x},\left(c_{1} \cdot \cos (\sqrt{5} \cdot x)-c_{2} \cdot \sin (\sqrt{5} \cdot x)\right)-\frac{e^{2}}{9} \).

Text erkannt:

geg: \( y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)-8 y(x)=-4 e^{-2 x} \quad \) gesucht: (1) Menge der \( E W \)
(2) Lasang der DGL \( y(x) \)
hamagen: \( y^{\prime \prime}(x)-2 y^{\prime}(x)-8 y(x)=0 \)
\( \begin{array}{l} \lambda^{2}-2 \lambda-8=0 \\ M N F: \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 4 \cdot(-8)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \\ \lambda_{1}=\frac{2+6}{2}=4 \quad \lambda_{2}=\frac{2-6}{2}=-2 \\ \Rightarrow C_{2} \cdot e^{4 x}+C_{1} \cdot e^{-2 x} \end{array} \)
partikulär: \( \quad \) A. \( x^{-2 x} \)
woher

Comments

Was ist denn Deine Frage?

In der Musterlösung wird doch erklärt, warum Drin Ansatz falsch ist?

Answer 1

Hallo,

y_h=\( c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{4 x} \)

Die part. Lösung muß lauten:

yp=Ax e^(-2x)  --->Resonanz

die -2 kommt sowohl in der Störfunktion( -4 e^(-2x)) als auch in der Lösung der charakt. Gleichung vor,

deshalb das * x

Ansätze siehe auch hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

2.Blatt, Punkt 2, 2.Zeile


\( y(x)=c_{1} e^{-2 x}+c_{2} e^{4 x}+\frac{2}{3} e^{-2 x} x \)

woher kam? ->der eingerahmte Teil

Du setzt yp , yp' und yp'' in die DGL ein.

yp=  A x e^(-2x)

yp'= A e^(-2x) -2xA e^(-2x)

yp'' =-4A e^(-2x) +4A x e^(-2x)

dann bekommst Du die eingerahmte Zeile.

y'' -2y' -8y= -4 e^(-2x) 

-4A e^(-2x) +4A x e^(-2x) -2( A e^(-2x) -2xA e^(-2x)) -8A x e^(-2x)= -4 e^(-2x)

-2( A e^(-2x) -2xA e^(-2x))   -4A e^(-2x) - 4A x e^(-2x)= -4 e^(-2x) ->der Rahmen

-2 A e^(-2x) +4xA e^(-2x)  -4A e^(-2x) - 4A x e^(-2x)= -4 e^(-2x)

-6 A e^(-2x) = -4 e^(-2x) | :  e^(-2x)

-6 A = -4 

A=2/3

yp=  \( \frac{2}{3} \)  x e^(-2x)

y=yh+yp

Answer 2

Wenn die homogene Lösung schon A*e^-2x enthält, kann das nicht auch Lösung der einhomogenen sein denn du hast ja vorher ausgerechnet, dass das einsetzen von A*e^-2x 0 ergeben muss. Deshalb der Ansatz yp=A*x*e^-2x nur wenn da  e^rx mit r≠-2,-4  stünde wäre dein Ansatz möglich.

Gruß lul