Zeige, dass f(x) ≥1 für alle x 0

Question

Aufgabe:

Sei f : (0,∞) →R gegeben durch f(x)= 1÷x +ln x

a) Zeige, dass f(x) ≥1 für alle x >0

b) Bestimme

\(\displaystyle \lim \limits_{x \searrow 1} \frac{1}{x-1} \int \limits_{1}^{x} f(t) d t \)

Problem/Ansatz:

Comments

Schreibe bitte erst einmal die Funktion \(f\) ordentlich auf. Was genau gehört in den Nenner und was nicht?

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Über den grünen Titel könnte man auch nochmals nachdenken.

Answer 1

Hallo

a) bilde f'(x) und zeige, dass es >=1

b) integriere, dann teile in xln(x)/(x-1) und den anderen Teil

den ersten Teil wegen 0/o mit L'Hopital der 2 te teil mit 3. Binom

Gruß lul

Answer 2

b) Bestimme zunächst \( \int\limits_{1}^{x} \) (1+t+ln)t) dt. Ergebnis x²/2+ln(x). Für x→1 geht dieser Term gegen 1/2. Der Rest dürfte dann klar sein.

Comments

Sind ein Rechenzeichen, sowie eine der Grenzen falsch?

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Schreibfehler wurde korrigiert, danke für den Hinweis.

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Die Funktion \(1+x+\ln(x)\) hat nicht die in (a) beschriebenen Eigenschaften.
Vermutlich ist \({\large\frac1x}+\ln(x)\) gemeint.