Für alle x ∈ R \ {1} mit |x|≥1 konvergiert die Folge n → x^n nicht in R. Kann man das so zeigen? Analysis

Question

Hallo :),

ich wollte fragen ob jemand mir sagen könnte, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → x^n nicht in R konvergiert.

Meine Lösung:

Comments

Ja würde sagen dass ist richtig mit der verwendung der Bernoulliungleichung. nur am anfang noch die 1 ausschließen, denn 1ⁿ ist ja beschränkt und dann passt auch die erste zeile in deinem beweis

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EDIT: Zitat:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xⁿ nicht in R konvergiert."

Wolltest du schreiben:

" dass für alle x ∈ R \ {1} mit |x| ≥ 1 die Folge n → xⁿ in R nicht konvergiert." ? 

Und warum ist dir "in R" wichtig? Es kann kaum plötzlich eine komplexe Zahl herauskommen? 

Ich habe den Satz in der Überschrift etwas umgestellt. 

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wobei du auch -1 ausschließen musst denn -1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1 also beschränkt

und diese Folge hat aber 2 Häufungspunkte also nicht konvergent

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am besten gleich schreiben für |x| > 1 und den Fall x = -1 einzeln betrachten

Answer 1

Du kannst es auch so  machen. Ang. \( x^n \) ist konvergent gegen den Grenzwert \( a \) für  \( |x|> 1\). Dann müsste für jedes \( \delta > 0 \) gelten \( |x^n - a | <\delta \) für alle \( n > n_0 \). Insbesondere auch für \( \delta < 1 \)

Für \( |x| = 1 + \epsilon \) mit \( \epsilon > 0 \) gilt

$$ |x^n - a | \ge |x|^n -|a| > 1+n\epsilon -|a|  $$ wähle \( n \ge \frac{|a|}{\epsilon} \), dann folgt \( |x^n - a| \ge 1  \) im Widerspruch zur Annahme.