Für welche reellen Zahlen a, b ∈ ℝ hat das LGS eine eindeutige Lösung und wie lautet diese?

Question

Aufgabe:

Es sei \( \left(\begin{array}{ccc|c}a & b & 0 & 6 \\ a & 12 & a & 12 \\ 0 & 6 & a & 6\end{array}\right) \) die erweiterte Matrix eines linearen Gleichungssystems.

(a) Für welche reellen Zahlen \( a, b \in \mathbb{R} \) hat das LGS eine eindeutige Lösung und wie lautet diese?

(b) Wann besitzt das LGS eine Lösung mit einem freien Parameter, wann eine Lösung mit zwei freien Parametern und wann gar keine Lösung wie lauten die Lösungen, falls sie existieren?

Problem/Ansatz:

Hallo. Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Bei der a) weiß ich ungefähr was ich machen soll. Mit dem Gaußverfahren und Fallunterscheidungen arbeiten oder?

Bei der b) habe ich absolut keine Ahnung, wie man das machen soll.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)

Answer 1

Ja genau. Du bringt das LGS auf ZSF. Dann kannst du direkt ablesen für welche a, b es eindeutig lösbar ist.

b) Damit ist einfach nur gemeint, wie du a und b wählen musst, damit du eine bzw. zwei Variablen frei wählen kannst. Also eine bzw. zwei Nullzeilen. Keine Lösung hat das LGS wenn du in einer Zeile eine falsche Aussage stehen hast, also z.B. 0*x3=7

Comments

Danke

Für die b) kann ich dann auch die ZSF-Form aus der a) benutzen oder?

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ja ########################

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Gilt für den Fall, dass zum Beispiel x3 frei ist und aus der Gleichung x1=x3 hervor geht ist, dass x1 auch frei ist? Und es damit dann zwei freie gibt

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ja #...

?                                                              .

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nein, wenn x1=x3 ist, dann ist x1 ja nicht frei wählbar sondern von deiner Wahl von x3 abhängig.

2 frei wählbare Parameter wären z.B. bei a=0 und b=6 der Fall.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 6 & 0&6\\ 0 & 12 & 0&12\\0&6&0&6 \end{array}\right)$$ 

III-I und II-2*I ergeben dann 2 Nullzeilen

LG

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Jawohl das hab ich auch. Ich dachte nur, dass es hätte sein können, weil x3 ja frei ist und x1 damit auch, aber gut vielen Dank für die Antwort

Answer 2

x₁=(6-b)/a; x₂=1; x₃=(b-6)/a.