Hallo Leo,
ich gehe dann mal von diesem LGS aus:
ax + y + z = 1
2x + y + az = a
3x + 2y + 2z = 1
Erweiterte Koeffizientenmatrix:
⎡ a 1 1 1 ⎤
⎢ 2 1 a a ⎥
⎣ 3 2 2 1 ⎦
Das LGS hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix K einen Wert ≠ 0 hat.
Det( K ) = (1 - a) · (2·a - 3) hat nur für a = 1 bzw. a = 3/2 den Wert 0 (ausrechnen z.B. mit Sarrusregel ). Nur für diese beiden Werte von a könnte sich also möglicherweise keine Lösung ergeben:
a = 1
⎡ 1 1 1 1 ⎤
⎢ 2 1 1 1 ⎥
⎣ 3 2 2 1 ⎦
Gauß-Algorithmus:
⎡ 1 1 1 1 ⎤
⎢ 0 -1 -1 -1 ⎥ Z2 - Z1 * 2
⎣ 0 -1 -1 -2 ⎦ Z3 - Z1 * 3
-------------
⎡ 1 1 1 1 ⎤
⎢ 0 -1 -1 -1 ⎥
⎣ 0 0 0 -1 ⎦ Z3 - Z2
Letzte Zeile ergibt 0 = -1 → keine Lösung für a = 1
a = 3/2
⎡ 3/2 1 1 1 ⎤
⎢ 2 1 3/2 3/2 ⎥
⎣ 3 2 2 1 ⎦
-----------
⎡ 3/2 1 1 1 ⎤
⎢ 0 -1/3 1/6 1/6 ⎥ Z2 - Z1 * 4/3
⎣ 0 0 0 -1 ⎦ Z3 - Z1 * 2
auch hier ergibt die letzte Zeile: keine Lösung für a = 3/2
Gruß Wolfgang