Berechnen Sie F= A · B + A · C+ D · C+ D · B unter Anwendung des Distributivgesetzes.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 1 (Matrizenrechnung, Gesetze der Matrizenrechnung) Gegeben sei
$A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 0 & -1 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -4 & 3 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right)$
Berechnen Sie $F=A \cdot B+A \cdot C+D \cdot C+D \cdot B$ unter Anwendung des Distributivgesetzes.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

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Weißt Du denn, was das Distributivgesetz besagt? Wie könnte man damit den angegebenen Tetm umformen?

Answer 1

$\begin{aligned} F & =A\cdot B+A\cdot C+D\cdot C+D\cdot B\\ & =A\cdot\left(B+C\right)+D\cdot\left(C+B\right)\\ & =A\cdot\left(B+C\right)+D\cdot\left(B+C\right)\\ & =\left(A+D\right)\cdot\left(B+C\right) \end{aligned}$

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Danke für den Ansatz.

Ich bin bei der Matrix (B + C) auf eine (2x2) Matrix (2  4; -4  2) gekommen. Und bei (A + D) kommt eine folgende Matrix raus (2  0; 3  3; 2  0).

Wenn ich versuche die Gleichung (A+D) * (B+C) zu berechnen, funktioniert das nicht, weil die eine Matrix eine (2x2) Matrix und die andere eine (3x2) ist.

Hast du eine Idee, wie ich das berechnen kann.

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Sevi

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Schau noch mal in die Definition der Matrixmultiplikation.

Man kann eine (a × b) Matrix mit einer (b × c) Matrix multiplizieren und Ergebnis ist eine (a × c) Matrix.

In deinem Fall ist a = 3, b=2, c=2.

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Sind dann meine Matrizen falsch berechnet oder wieso funktioniert das nicht?

Muss ich dann die eine (3x2) Matrix transponieren, damit ich die beiden Matrizen multiplizieren kann?

Vielen Dank im Voraus.

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Sind dann meine Matrizen falsch berechnet

Nein,

        $A+D = \begin{pmatrix}2&0\\3&3\\2&0\end{pmatrix}$

und

  $B+C = \begin{pmatrix}2&4\\-4&2\end{pmatrix}$

hast du korrekt berechnet.

oder wieso funktioniert das nicht?

Ich habe keine Ahnung, warum du

        $\begin{pmatrix}2&0\\3&3\\2&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&4\\-4&2\end{pmatrix}$

nicht berechnen kannst. Alle anderen, die sich etwas mit Matrixmultiplikation beschäftigt haben, können das Matrixprodukt berechnen.

Muss ich dann die eine (3x2) Matrix transponieren, damit ich die beiden Matrizen multiplizieren kann?

Nein.