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Aufgabe:



Beweisen Sie für reelle Zahlen \( x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{m} \) die Gültigkeit des allgemeinen Distributivgesetzes


\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot\left(\sum \limits_{j=1}^{m} y_{j}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} x_{i} y_{j}  \)

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Kannst ja vielleicht erst mal (etwa mit vollst. Induktiuon zeigen)

\( a \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) = \sum \limits_{i=1}^{n} ( a\cdot  x_{i}  ) \)

und also auch \(  \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot a= \sum \limits_{i=1}^{n} (  x_{i} \cdot a ) \)

Dann hast du ja mit \( a= \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \)

\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot\left(\sum \limits_{j=1}^{m} y_{j}\right)=\sum \limits_{j=1}^{m} (\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot y_{j}) \)

und mit der 2. Formel von oben auch

\( =\sum \limits_{j=1}^{m} \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}y_i\right) =\sum \limits_{j=1}^{m} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}y_i =\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} x_{i}y_i \)

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