Wie berechnet man den Grenzwert dieser Folge?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{\sqrt[n]{n^{2+3 n}}+n^{2}}{n \cdot\left(2+3 n^{2}\right)} \)

Grenzwert berechnen

Problem/Ansatz

Ich kann leider bei der Aufgabe nicht weiter. Und bräuchte Hilfe bei der Aufgabe.

Answer 1

n^2 unter der Wurzel kannst du vernachlässigen:

(n^(3n)^(1/n) = n^3

Nenner ausmultiplizieren und Bruch mit n^3 kürzen:

(n^3+n^2)/(2n+3n^3)

-> lim = (1+0)/(0+3) = 1/3 für n ->oo

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort. Leider kann ich hier rächen Weg nicht nachvollziehen. Was meinen Sie, da mit dass man n^2 vernachlässigen kann. Im zweiten Schritt verstehe ich nicht, wie sie darauf gekommen sind. :(

---

*Rechenweg (Korrektur)

Answer 2

Es gilt$$\sqrt[n]{n^{2+3n}}=\sqrt[n]{n^2\cdot (n^n)^3}=(\sqrt[n]{n})^2\cdot\sqrt[n]{n^n}^3=(\sqrt[n]{n})^2+n^3.$$Es gilt ferner$$\sqrt[n]{n}\rightarrow 1\text{ für }n\rightarrow\infty$$