Wie bestimmt man den Grenzwert dieser Folge a_n:= n! /(n^j (n-j)! )

Question

habe für eine Konvergenzuntersuchung folgenden Term aus einer Folge ausgeklammert:

$$ \frac{n!}{n^j * (n-j)!} $$   , wobei n,j∈ℕ

Nun muss ich noch zeigen, dass der Grenzwert dieses Terms für n -> ∞    gleich 1 ist, aber komme einfach nicht drauf.

Hatte mir überlegt n! mit (n-j)! zu kürzen, dann wären aber über dem Bruchstrich (n-j) Faktoren und dann wüsste ich nicht wie ich es weiter sinnvoll abschätzen könnte.

Answer 1

Hatte mir überlegt n! mit (n-j)! zu kürzen, dann wären aber über dem Bruchstrich (n-j) Faktoren

Nein, das sieht doch dann so aus:

Die (n-j) Faktoren von (n-j)! sind alle weg und oben bleiben übrig (n-j+1) *(n-j+2) *.....* n

Das sind n - (n-j) Stück, also gerade j Stück . Und unten bleibt n^j , also so

(n-j+1) *(n-j+2) *.....* n      /  n^j

=  (n-j+1)/n   *(n-j+2)/n    *.....* n/n

Das sind j Brüche, die alle gegen 1 gehen, also geht auch

deren Produkt  gegen 1.

 

Comments

Oh man, da hab ich mich aber ziemlich blöd angestellt...