Grenzwert der Folge: a_n:= n!/2^n

Question

Wie kann ich den Grenzwert dieser Folge untersuchen bzw. wie beweist man das einer/keiner existiert ? $${a}_{n}:=\frac {n!}{{2}^{n}}$$

Answer 1

a(n+1) / an = ((n + 1)! / 2^{n + 1}) / (n! / 2^n) = (n + 1)/2

Kann damit ein Grenzwert existieren ?

Comments

a_(n+1) / a_n 

Das ist doch das Quotientenkriterium für Reihen. Kann man denn diesen auch für Grenzwertuntersuchung für Folgen übertragen?

Und für (n + 1)/2 existiert natürlich kein Grenzwert.

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Ja das wäre das Quotientenkriterium für Reihen. Warum erlaubt mir die Kenntnis hier auch eine Aussage über die Folge?

Das Kriterium zeigt hier doch deutlich, das die Folge monoton über alle Grenzen wächst. Und es ist ja zu prüfen ob die Folge beschränkt ist.

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Danke und gibt es denn auch eine andere Methode um den Grenzwert zu überprüfen?

Ich hatte bisher nur Folgen ohne Fakultät.

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Es gibt ja keinen Grenzwert. Dann kannst du ihn auch nicht prüfen.

Finde eine Folge deren Folgeglieder alle kleiner oder gleich sind und die divergent ist.

Answer 2

$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1}{2}\underbrace{\left[\frac{2\cdot3\cdot\ldots\cdot(n-1)}{2\cdot2\cdot\ldots\cdot2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\right]}_{{}\ge1}\frac{n}{2}$$