Wie berechnet man den Grenzwert bei dieser Aufgabe?

Question

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{2 x}+2 x-3}{2 e^{2 x}-e^{x}} \)

Ich muss für eine Hausaufgabe diesen Grenzwert berechnen, und darf die Regel von L'Hospital nicht verwenden:ich würde mich freuen wenn mir jemand zur Hilfe kommt.

Answer 1

Aloha :)$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2x}+2x-3}{2e^{2x}-e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{ \frac{1}{e^{2x}} \left(e^{2x}+2x-3\right)}{\frac{1}{e^{2x}}\left(2e^{2x}-e^x\right)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\frac{2x}{e^{2x}}-\frac{3}{e^{2x}}}{2-\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{2}$$

Comments

Dankeschön, kannst du mir bitte auch bei dieser Aufgabe helfen?

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5 \ln (x)}{2 x} \)

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Klar, zum Helfen sind wir ja hier:$$\frac{3x^2+5\ln(x)}{2x}=\frac{3x^2}{2x}+\frac{\ln(x)}{2x}\stackrel{(x\ge1)}{\ge}\frac{3x^2}{2x}=\frac{3}{2}x$$$$\Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+5\ln(x)}{2x}\ge\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3}{2}x\right)=\infty$$Der Grenzwert existiert nicht.

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lim 3*x²+5*ln(x)/lim 2*x  mit x → unendlich

lim 3*x²+5*ln(x) über wiegt x²  gehte gegen unendlich

x=100  → 100²=10.000  ln(100)=4,6 kann man weglassen

lim 2*x  x → unendlich  ergibt unendlich

lim 3*x²+5*ln(x)/lim 2*x=∞/∞ also wieder l´Hospital

lim f(x)/g(x)=f´(x)/g´(x)

den Rest schaffst du selber

f(x) ableiten dann g(x) ableiten und x → unendlich gehen lassen

Answer 2

Hallo,

für große x dominieren im Zähler e^{2x}

und im Nenner 2e^{2x}.

Damit ergibt sich

lim x-->∞ ... = lim x --> ∞ e^{2x}/(2e^{2x})

=1/2

Comments

Indem Sinne fallen die anderen Werte dann einfach weg,wenn ich ins Unendliche geh?

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siehe Mathe-Formelbuch,rechnen mit Grenzwerten

lim f(x)/g(x)  mit x → a

lim f(x)/lim g(x)  mit x → a

unbestimmte Ausdrücke 0/0 oder unendlich/unendlich nach

l´Hospital lim f(x)/g(x)=f´(x)/g´(x) mit x → a

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Indem Sinne fallen die anderen Werte dann einfach weg,wenn ich ins Unendliche geh?

Ja, da sie viel kleiner sind als die dominierenden Terme.

siehe Mathe-Formelbuch,rechnen mit Grenzwerten

lim f(x)/g(x)  mit x → a

lim f(x)/lim g(x)  mit x → a

unbestimmte Ausdrücke 0/0 oder unendlich/unendlich nach

l´Hospital lim f(x)/g(x)=f´(x)/g´(x) mit x → a

L'hospital ist für diese Aufgabe nicht erlaubt

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Dann bleibt nur noch lim f(x)/lim g(x)

und/oder e^(2*x) ausklammern

e^(2*x)/e^(2*x)*(1+2*x/e^(2*x)-3/e^⁽2*x))/(2-e^(x)/e^(2*x)=(1+0-0)/2=1/2

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,rechnen mit Grenzwerten,l´Hospitalsche Regel

lim f(x)/g(x)  mit x → a   egibt lim(f(x)/lim(g/x) mit x → a

lim e^(2*x)+2*x-3 mit x → unendlich überwiegt  e^(2*unendlich)  hier kann man 2*unendlich-3 weglassen

lim e^(2*unendlich)+2*unendlich-3=unendlich

lim 2*e^(2*unendlich)-e^(unenddlich) auch hier überwiegt e^(2*unendlich)  hier kann man -e^(unendlich) weglassen

lim 2*e^(2*unendlich)=unendlich

also lim f(x)/g(x)=unendlich/unendlich ist ein Fall für l´Hospital

lim f(x)/g(x)=f´(x)/g´(x)

f(x)=e^(2*x)+2*x-3  abgeleitet f´(x)=2*e^(2*x)+2

g(x)=2*e^(2*x)-e^(x) abgeleitet g´(x)=4*e^(2*x)-1*e^(x)

lim f´(x)/g´(x)=2*e^(2*x)+2)/(4*e^(2*x)-e^(x))  e^(2*x) ausklammern

lim e^(2*x)/e^(2*x)*(2+2/e^(2*x)/(4-e^(x)/e^(2*x))

lim (2+2/e^(2*x))/(4-e^(x-2*x))=(2+2/e^(2*x))/(4-1/e^(x)  Potenzgesetz a^(-n)=1/a^(n)  oder

1/a^(-n)=a^(n)

lim (2+2/e^(2*x))/(4-1/e^(x))  mit x → unendlich

(2+0)/(4-0)=2/4=1/2=0,5

lim f(x)/g(x) mit x → unendlich=1/2=0,5

Proberechnung mit x=20

(e^(2*20)+2*20-3)/(2*e^(2*20)-e^(20)=0,5  is zwar rechnerisch nicht einwandfrei,aber bietet einen Hinweis.